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数学の質問です。
 
空間内に4点 A(3,0,4)、B(-3,0,-4)、C(0,10,0)、D(−8,5,6)を取る。このとき、四面体ABCDの体積Vを求めよ

という問題で、平面BCDを底面にして考えるようにしました。
ベクトル(以下、ベクと呼称)BC=(3,10,4)、
ベクBD=(−5,5,10)で
外積ベクBC×ベクBD=(80,−50,65)
これは方向ベクトルだから、簡略化して、(16,−10,13)...①
①と点Cを使い、平面BCDの方程式は
16x−10y+13z+100=0...②
①と②から、点と平面の距離は、
|16・3−10・0+13・4+100|
ーーーーーーーーーーーーーーーー  =200/√2
√16²+10²+13²
これが高さで、

BCDの面積S
=1/2√|ベクBC|²・|ベクBD|²−(ベクBC・ベクBD)²=1/2・25√21
これが面積だから、

体積Vは、
200/√2・1/2・25√21・1/3=...

となったのですが、答えは500/3で、全く違うものになってしまいました。どこが間違っているのか何度も確かめましたが、わかりませんでした。長文で読みづらいかもしれませんが、詳しい方どうかお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

ちなみに 外積が分かっているなら説明不要かと思いますが


外積とは 2つのベクトルを2辺となす平行四辺形の大きさをもち
向きはこの平行四辺形に垂直なベクトルです
つまり |BCxBD|はBCとBDを2辺とする平行四辺形の面積を意味します

外積のこのことは広く知られた常識

対して、
S=1/2√|ベクBC|²・|ベクBD|²−(ベクBC・ベクBD)²
これは教科書には出てこない準公式とでもいえる式

もし入試で後者を使うなら要注意かも
というのも
導出もなしにこれを誰でもが知っている(教科書に載っている)公式と同様に使ってしまうと
説明不足で原点かもね・・・(要注意)
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この回答へのお礼

外積の絶対値を求めることで、それが平行四辺形の面積を意味することは知りませんでした!
助かりました!

お礼日時:2021/06/30 15:50

高さ=200/(5√21)


S=(1/2)|BCXBD|=(1/2)√(80²+50²+65²)
=(1/2)√13125
=(1/2)25√21
ですから
V=(1/3)Sh
=(1/6)x200x5
=500/3
 
高さ計算のミスですね
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