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この問で数学的帰納法が使えるらしいですが、なぜでしょうか

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A 回答 (2件)

意味が不明だが、数学的帰納法で証明せよ、とする。


d/dx=Dと置く。

D∫[a→x] (x-t)h(t)dt=D{ ∫[a→x] xh(t)dt - ∫[a→x] th(t)dt }
 =D{ x∫[a→x] h(t)dt - ∫[a→x] th(t)dt }
 = ∫[a→x] h(t)dt + xD∫[a→x] h(t)dt - D∫[a→x] th(t)dt
 = ∫[a→x] h(t)dt + xh(x) - xh(x) =∫[a→x] h(t)dt

よって、n=1のとき成立。

nのとき成立を仮定。

D∫[a→x] (x-t)ⁿ⁺¹h(t)dt =D{ ∫[a→x] (x-t)(x-t)ⁿh(t)dt }
 =D{ x∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt -∫[a→x] t(x-t)ⁿh(t)dt }
 =∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt +xD∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt
     -D∫[a→x] (x-t)ⁿ(th(t))dt }

 =∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt+xn∫[a→x] (x-t)ⁿ⁻¹h(t)dt
     - n∫[a→x] (x-t)ⁿ⁻¹(th(t))dt

ここで、2項の D∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt に与式を適用。
また、3項の D∫[a→x] (x-t)ⁿ(th(t))dt に与式を適用(h(t)は任意
だから h(t) → th(t) とした)。

 =∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt+n∫[a→x] x(x-t)ⁿ⁻¹h(t)dt
     - n∫[a→x] t(x-t)ⁿ⁻¹h(t)dt

 =∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt+n∫[a→x] (x-t)(x-t)ⁿ⁻¹h(t)dt
 =∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt+n∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt
 =(n+1)∫[a→x] (x-t)ⁿh(t)dt

よって、n+1でも成立し、帰納法により与式は証明された。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/06/28 11:40

一言で答えると、nが正の整数で、また問題が「すべてのnについて次式が成り立つ事を証明せよ」と言うものですから、nについての数学的帰納法で証明できる可能性があります。

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