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複素フーリエ級数展開というのはフーリエ級数展開を変形させたものですか?それとも全くの別物ですか?

gooドクター

A 回答 (3件)

目的は同じで、手法もよく似ているのですが、


級数としては別物です。

f(x) = (a_0)/2 + ∑[n=1→∞]{ (a_n)cos(nx) + (b_n)sin(nx) },
f(x) = ∑[n=0→∞] (c_n)e^(inx)
   = ∑[n=0→∞]{ (c_n)cos(nx) + i(c_n)sin(nx) }.
同じ f(x) に対して
a_n = c_n, b_n = i c_n とはなりません。

a_n = ∫f(x)cos(nx)dx,
b_n = ∫f(x)sin(nx)dx,
c_n = ∫f(x)e^(inx)dx
  = ∫f(x){ cos(nx) + i sin(nx) }dx
  = ∫f(x)cos(nx)dx + i∫f(x)sin(nx)dx.
なので、
c_n = (a_n) + i(b_n) の関係があります。
a_n = Re(c_n), b_n = Im(c_n) です。
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全く同じもの、と考えていいでしょう。



-π≦x<πで定義された複素数値関数p(x)を実部 f(x)と虚部u(x)に分けて
  p(x) = f(x) + i u(x)
と考える。
  P[m] = ∫ p(x) (e^(2πimx)) dx (積分は-π≦x<πの定積分, mは-∞〜∞。以下同様)
 とすると、
  e^(2πimx) = cos(2πmx) + i sin(2πmx)
を使って
  P[m] = ∫ p(x) cos(2πmx) dx + i ∫ p(x) sin(2πmx) dx = F[m] + i U[m]
ここにPの実部Fと虚部Uは
  F[m] = ∫ f(x) cos(2πmx) dx - ∫ u(x) sin(2πmx) dx
  U[m] = ∫ u(x) cos(2πmx) dx + ∫ f(x) sin(2πmx) dx
となる。cosine級数展開とsine級数展開とは、これらの成分を
  (F[m] + F[-m])/2 = ∫ f(x) cos(2πmx) dx (Fの偶関数成分)
  (F[m] - F[-m])/2 = -∫ u(x) sin(2πmx) dx (Fの奇関数成分)
  (U[m] + U[-m])/2 = ∫ u(x) cos(2πmx) dx (Uの偶関数成分)
  (U[m] - U[-m])/2 = ∫ f(x) sin(2πmx) dx (Fの奇関数成分)
で取り出したもの、と考えれば良いわけです。
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フーリエ級数は関数を三角関数の多項式として展開するものですが、これを複素数を用いた指数関数の多項式として展開するものが複素フーリエ級数です。

複素数の範囲まで考えると指数関数と三角関数は互いに書き換え可能となるので、それを利用したものです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2021/06/30 11:00

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