二次曲線

x^2-2xy+y^2-y＝0という二次曲線のグラフを書きたいのですがなかなか式変形が上手く行きません。
x＝Xcosθ+Ysinθ、y＝-Xsinθ+Ycosθ
と置いてθにわかりやすい角度を入れて変形してグラフを書いてからグラフをθ分傾けて元に戻そうとしたのですが…
コンピュータなら1発なのですが手計算で書かなければならないので知恵をお貸しいただけると有難いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/30 23:06

そのやり方でいいんですよ。

x^2 - 2xy + y^2 - y = 0 に
x = Xcosθ + Ysinθ, y = X(- sinθ) + Ycosθ を代入すると、
0 = (X^2){ (cosθ)^2 + 2(cosθ) (sinθ) }
　　+ (XY){ 2(sinθ)^2 - 2 (cosθ)^2 - 2(cosθ)(sinθ) + 2(sinθ)(cosθ) }
　　+ (Y^2){ (sinθ)^2 + (cosθ)^2 - 2(sinθ) (cosθ) }
　　+ X{ (sinθ)+ X(sinθ)^2 } - Y(cosθ)
　= (X^2)(cosθ)｛ cosθ + 2 sinθ }
　　+ 2(XY){ - cos(2θ) }
　　+ (Y^2)(sinθ - cosθ)^2
　　+ X(sinθ){ 1 + (sinθ) } - Y(cosθ).
X, Y の式から XY の項が消えるように 2θ = π/2 を代入してみると、
0 = (X^2)(3/2) + X(1 + √2)/2 - Y/√2.
変形して、
Y = (3/√2){ X + (1+√2)/6 }^2 - (4 + 3√2)/24.

この式は、Y = (3/√2)X^2 を
原点中心反時計回りに - π/4 だけ回転(時計回りに π/4 だけ回転)して、
X軸方向に - (1+√2)/6、Y軸方向に - (4 + 3√2)/24 平行移動した
ものを表しています。放物線ですね。

No.1 回答者： takashi1503 回答日時： 2021/06/30 18:01

微分して増減表を書いていくのが確実かと

与えられた方程式をyで降べきの順にすると
y^2-(1+2x)y+x^2=0
判別式D=(1+2x)^2-4x^2=4x+1
yが実数である条件はD>=0だから、4x+1>=0を解いてx>=-1/4

y=の形にすると
y={(1+2x)±√(4x+1)}/2

ここで場合分けをする
Y₁={(1+2x)+√(4x+1)}/2のとき
dY₁/dx=2/√(4x+1)+2
dY₁/dx=0となる値はなく、Y₁>0なので常に増加

同様にY₂={(1+2x)-√(4x+1)}/2の時も考えると
dY₂/dx=-2/√(4x+1)+2
dY₂/dxはx=0のとき0になるのでY₂は-1/4<x<0で減少、x>0で増加
x=0のときyの値は0

またx=-1/4のときy=1/4

これらをもとにグラフを書くと傾いた放物線が書けると思う