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三角関数 半角の公式についてです。

sin²α/2=(1-cosα)/2

これを

sin²α=(1-cos2α)/2

と変形できるのは何故ですか?
2をかけたなら右辺の分母も2かけられないんですか?

gooドクター

A 回答 (4件)

式に括弧が足りません。


sin²(α/2) = (1 - cosα)/2
 ↓
sin²α = (1 - cos(2α))/2
ですね?

両方の式に「任意のα」の意味で
同じ文字 α を使っているのも、混乱のもとです。
任意の α に対して sin²(α/2) = (1 - cosα)/2
 ↓
任意の β に対して sin²β = (1 - cos(2β))/2
と書き換えてみましょう。

β = α/2 で、両式は同一の式になります。
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その疑問は恐らく



sin^2α/2

と言うのを

(sin^2)×(α/2)

と誤解しているからではないでしょうか。習ったはずですが

sin^2α/2

と言うのは

(sinα/2)^2

と言う意味です。なので

(sinα)^2

と読み替えても、単純に「2をかけた」と言う意味にはなりません。そもそもsin単独では何の意味も持たないので。
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x sin²α/2=(1-cosα)/2


○ sin²(α/2)=(1-cosα)/2
のαを2αと置き換えていますが、数学的には誤解を招く表現ですね。α=2βとしたらわかりやすいかもしれません。半角の公式の証明はコスモスコスモス咲いた咲いたからやっていけばできます。(が、この時点では公式を覚えておけばよいのかもしれません。)
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sin²(α/2)=(1-cosα)/2



α/2=A とおくと、α=2A

これより、
sin²A=(1-cos2A)/2

文字を換えて書くと、
sin²α=(1-cos2α)/2

最初の式の左辺の分母の2はαの分母で、
右辺の分母の2は右辺全体の分母です。
最初の式の両辺を2倍した場合は、
2sin²(α/2)=1-cosα
となります。
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