No.5ベストアンサー
- 回答日時:
任意のSに対して
N>e^(4S)
となる自然数Nが存在する
n>N
となる
任意の自然数nに対し
n=(2^j)m,jは非負整数,mは奇数
となるj,mがある
φ(n)=φ(2^j)φ(m)≧φ(2^j)≧2^(j-1)
φ(n)=φ(2^j)φ(m)≧φ(m)
オイラーの定理から
奇数mに対して
2^φ(m)=1 (mod m)
2^φ(m)=1+mk
となる整数kがある
φ(m)≧1だから
1+mk=2^φ(m)≧2
1+mk≧2
mk≧1
k≧1/m
↓kは整数だから
k≧1
mk≧m
1+mk≧m+1
↓2^φ(m)=1+mkだから
2^φ(m)≧m+1
↓両辺のlogをとると
φ(m)log2≧log(1+m)
φ(m)≧log(1+m)/log2
φ(n)≧φ(m)≧log(1+m)/log2
φ(n)≧φ(2^j)≧2^(j-1)
m≧2^jの時
↓両辺にmをかけると
m^2≧(2^j)m
↓n=(2^j)mだから
m^2≧n
↓n>Nだから
m^2>N
↓N>e^(4S)だから
m^2>e^(4S)
↓両辺を1/2乗すると
m>e^(2S)
↓m<1+mだから
1+m>e^(2S)
↓両辺のlogをとると
log(1+m)>2S
↓2>log2だから
log(1+m)>Slog2
↓両辺をlog2で割ると
log(1+m)/log2>S
φ(n)≧log(1+m)/log2>S
2^j>mの時
↓両辺に(2^j)をかけると
2^(2j)>(2^j)m
↓(2^j)m=nだから
2^(2j)>n
↓n>Nだから
2^(2j)>N
↓N>e^(4S)だから
2^(2j)>e^(4S)
↓両辺を1/2乗すると
2^j>e^(2S)
↓e^(2S)>2Sだから
2^j>2S
↓両辺を2で割ると
2^(j-1)>S
φ(n)≧2^(j-1)>S
任意のSに対して
N>e^(4S)となる自然数Nが存在する
n>Nとなる任意の自然数nに対し
φ(n)>S
となるから
∴
lim_{n→∞}φ(n)=∞
No.4
- 回答日時:
> 有界ではないということだけでは→∞を言えないのが難しいところです。
ダウト。
任意の M に対して、φ(n)≦M となる n には n≦N となる N が存在するから、
その N について n>N ⇒ φ(n) > M が成り立つ。
これは、εδ論法での limφ(n) = +∞ の定義そのもの。
No.2
- 回答日時:
オイラーの定理より、
奇数 n について 2^φ(n) ≡ 1 (mod n).
2^φ(n) = nk+1 となる整数 k が存在することになるが、
φ(n) ≧ 1 より k ≧ 1 は自明である。
2^φ(n) > nk の対数をとって、
φ(n) > log₂ n + log₂ k ≧ log₂ n.
n = (2^j)m, j は非負整数, m は奇数 のとき、
φ(n) = φ(2^j)φ(m) = { 2^(j-1) } φ(m) ≧ { 2^(j-1) } log₂ m.
n → ∞ のとき、 2^j → ∞ または m → ∞ となる。
この回答へのお礼
お礼日時:2021/07/08 21:32
n→∞のとき2^j→∞またはm→∞までは理解できました。
ありがとうございます。
任意のM>0に対してあるNが存在してn>Nならばφ(n)>Mであることは、
2^j→∞またはm→∞であることからどのように言えばいいのでしょうか?
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No.2の書き方だと
φ(n)≧2^(j-1)log₂m
が成り立つとはいえm=1になる
ことが無数にあるのが心配です。
> 偶数 n = (2^j)m に対して { 2^(j-1) } log₂ m が有界より、
> j も m も有界になって n は有界。
まさにこれこそ 「 ダウト。」 ですね…。
m=1のとき、jが有界と言えるでしょうか…?
>φ(n)≦M となる n には n≦N となる N が存在する
このNの存在は、不等式 M ≧ φ(n) ≧ 2^(j-1) log₂ m
でj,mが有限個の値しかとらないことから言うのですよね?
でもm=1すなわちlog₂m=0の場合が問題になりませんか?
ダウト。
風変わりな定義ではなく、ごく一般的な定義
でお願いできないでしょうか?
普通は「φ(n)→∞」とは
∀S∃M ∀n(n>M ⇒ φ(n)>S)
ということ、です。
補足にてかなり分かりやすくありものがたりさんの回答の間違いを指摘しましたが…、なぜか反応がありませんでした…。補足は読まれないのでしょうか…?No.4も間違っている上に、背理法と対偶を混同されていて、あまり良い印象を持てませんでした…。
とにかく、どこが間違いか御理解されたのか、「ダウト」を反省したのかどうかを聞かせてほしかったのですが…。