ババ抜きの確率

トランプのババ抜きについて。ババ抜きのルールは省略します。
プレーヤー4人(A,B,C,D)にJoker1枚を含む53枚を配り、A,B,Cに12枚、Dに13枚配る。
同じ数値のカードを抜いた後の準備段階で、
A:6枚
B:4枚
C:4枚
D:1枚
であった場合、Jokerを持っている確率の最も高い人は誰で、その確率は?
(まだ、誰も引いていない状態です)



たぶん、答えは、
13/53でDが一番高い。
直感的には分かるのですが、間違った回答の人に何が間違っているかをも上手く説明できない。
あの話題の問題に似ていますが、なんとか理論とか簡単な説明とかは、素人向けにないですか?

質問者からの補足コメント

• 問題文の数値は誤記が多いので、あまりこだわらないでください。
  問題投稿時の10:00から予定だったのでよく見なかったことと、記憶に基づいて書いたのが誤記の原因です。
  それよりも、ババ抜きでの配った後、同じ数値のカードを抜いても、ジョーカーを持っている人の確率は変わらないということの説明についてです。
  あと、似ている問題は、モンティ・ホール問題と3囚人問題でした。

    補足日時：2021/07/10 14:16

No.18 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/13 01:24

#15です。

#16さんの指摘を受け、シミュレーションをやり直しました。
素直に1から13の目を４つずつ用意しババを１枚加えてランダム化してベットし、各デッキでは同じ目が２枚揃ったら除外し（もちろん４枚も）、残った枚数の分布を調べました。それをババの有り無しで区別して比較しました。

その結果、#16さんの洞察のとおり、揃う相手の無いババを握らされると、明らかに手元に残るカードが極小枚数に到達できる頻度が下がりました。
（A,B,Cは等価なので、グラフはAさんの分しかありません）

ということは、極小枚数に到達できたDさんは、ババを持っている確率は最初の確率より低くなったということになります。

再度、考えを改めました。難問です。

No.17 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/12 23:44

#16さんへ、

シミュレーション、きちんとトランプの目を与えてやり直してみます。

ご質問者様、もう少し時間を下さい。

No.16 回答者： hondarawa 回答日時： 2021/07/12 23:28

#11です。

再々度。
まず、「ババを持つ確率はカード残数に比例する、AはDの６倍だから確率は６倍になる」とかいうのは馬鹿げた考えと思います。
ババを持つ確率は、最初に配られた時の確率と、ほぼ同じ、というのも同意します。
しかし、カード残数とババ確率は、無関係ではありません。

こう考えられませんか、ババは準備段階で排除されることがないので、ババが有ることは、カード残数を増やす方向に働きます。
その意味で、カード残数の多い方がババである可能性が、少し高くなります。AはDの６倍という様な極端な事ではありませんが。
よって、配られたカード数が等しいABCについては、Aがババである確率がもっとも高くなります。
しかし、定量的にどの程度確率が高くなるのかよくわからないので、他３人より多くカードを配られたDとAとどちらが確率が高いかは、分かりません。あるいは、残数が６というのは、それほど影響がなく、Dの方がやっぱり確率は高いのかもしれません。

あと、余談になりますが、#15のシミュレーション、間違ってると思います。
あれは、トランプ53枚から14枚引いてババをもってくる確率を計算してるだけだと思います。そりゃ14/53に決まってるでしょ。
そうじゃないんじゃないですか。
例えばDに着目するなら、14/53の確率でババを引いた後で残数１になる確率、39/53の確率でババを引かずに残数１になる確率を計算すべきです。

No.15 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/12 08:09

#8,#14です。

考えを改めました。
10万回のコンピュータシミュレーションをやってみました。結果は、

[A] 0.24527
[B] 0.24514
[C] 0.24419
[D] 0.2654

となり、Dがご質問者の考えた理論値14/53＝0.2642に近い値となりました。
勝ち負けはともかく、「誰がババを持っているか」は最初配られた枚数に依存し、多く配られた人が最も確率が高いです。

以下はシミュレーションに用いたRのスクリプトです。

今回は、残すカード枚数を指定通りにしましたが、すると取り除く枚数は奇数になってしまいます。そこで、取り除く枚数をルール通り偶数にしてやってみても、

[A] 0.24480
[B] 0.24714
[C] 0.24449
[D] 0.26357

というように、最初に配られた枚数に依存するだけで、変わりませんでした。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

# ババ抜きのシミュレーション

x <- c(rep(0, 52), 1)

A <- B <- C <- D <- 0
i <- 0

while(i < 100000){

# カードを切る
x <- sample(x)

# 各人に配る
a <- x[ 1: 13]
b <- x[14: 26]
c <- x[27: 39]
d <- x[40: 53]

# 指定された枚数だけ残す（ここは本来は偶数枚取り除くべき）
a <- (sort(a))[ 8: 13]
b <- (sort(b))[10: 13]
c <- (sort(c))[10: 13]
d <- (sort(d))[14: 14]

# ババを持っていた回数の累計
A <- A + sum(a)
B <- B + sum(b)
C <- C + sum(c)
D <- D + sum(d)

i <- i + 1
}

A / i; B / i; C / i; D / i

この回答へのお礼

ありがとうございます。ここまでシミュレーションをするとは思っていませんでした。
私の別の考えで、ジョーカーを持っている人は、取り除かれないジョーカー1枚分があるため、残る枚数が1枚分多くなる傾向があるかもとも思っていました。
いろいろと、回答が増えるうちに分かってきました。A,B,C,Dの各自で持っているカード1枚あたりの確率が異なっているのに、単純に同じ確率として枚数だけで計算する間違いが多いようですね。
私も自分が100%正解とは思っていないので、もうしばらく回答を受け付けようかと思います。

お礼日時：2021/07/12 23:24

No.14 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/12 00:54

そうか。

同じ枚数ずつ配ることができれば、誰がババを持っているかは最初から1/4のまま変化しないんだ。

負けるのは誰か（カードが多い方が不利）に頭が支配されていました。すみません。

誰から引きたいかと聞かれたら、たしかにAさんの手持ちカードから引くのが一番リスクが低いですね。

ちょっと、落ち着いて考え直してみます。

No.13 回答者： hondarawa 回答日時： 2021/07/11 22:37

#11です。

>最初に配った時点で約1/4の確率になり、その後に「確実にジョーカー以外のカード」が減っても、確率は変わらない

私も最初はそう思ったのですが、
結局、残ったカードの枚数が、ババを示すヒントになるんですよ。

前回示した様に、残数14枚の人間がいればババ確定。
カード残数が、他３人のカード残数の和+1ならば、それもババ確定といった具合です。１人確定ならば、それ以外の人間は確率０です。
これ以外の残数の組でも、ババの確率は変化します。
要するに、これも条件付き確率で、モンティ・ホール問題などと同じ。
ただし、条件が非常に複雑で、４人の残数の組で確率を考える必要があります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。なんとなく、他の人の間違った思考が見えてきました。

お礼日時：2021/07/11 23:38

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/11 18:16

No.6 で解決してない？

No.11 回答者： hondarawa 回答日時： 2021/07/11 18:10

この問題は、きちんと計算しようとすると、相当ややこしくなります。

少なくとも、(持っているカードの数)÷(カード残数の総和)とかいう簡単な計算にはならない。

極端な例を考えてみると良いと思います。
Ａのカード残数が14枚であった場合、ババはＡ確定です。よって残り３人はカード残数に関係なく、ババの確率は0です。
あるいは、ＡＢＣＤのカード残数が7、3、2、1の場合、これもＡ確定です。ひとりのカード残数は、残り３人のカード残数の和+1以下。カード残数が残り３人のカード残数の和+1ならば、その人物がババ。他にも色々あろうと思います。このあたりの規則が、単純計算ではカバーできない。
残ったカードが均等にババの確率を持つわけではないし、最初に配った時から確率が変動しないわけでもありません。ちゃんと４人のカード残数が6，4、4、1になる様な、最初に配った時のカード組み合わせを計算する必要があります。
例えばＡがババである確率は、
(Ａがババで４人のカード残数が6、4、4、1になる組み合わせ数)÷(４人のカード残数が6、4、4、1になる組み合わせ数)と思います。

計算は、私の手に負える様なものではないので、パスさせていただきます。

この回答へのお礼

あの聞きたいのですが、最初に配った時点で約1/4の確率になり、その後に「確実にジョーカー以外のカード」が減っても、確率は変わらないということは、分かりませんか？ 0枚になったら別ですが。減るカードは確実にジョーカー以外ということと、1枚以上残れるということだけが条件で、そんなに難しく考えなくても良いはずなんですが。

お礼日時：2021/07/11 21:13

No.10 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/09 10:03

#8です。

ジャニーズとか歌舞伎役者がスクラッチ宝くじを削る番組がありますよね。

クジは一定の確率で当選が出るとします。各人に配布され、各人が削って（それらはハズレで）、各人の手元にある枚数が残っています。

Dさんの手元には１枚だけ残っています。あなたは、お金を払ってでも、その１枚を手に入れたいですか？


ご質問の問題もクジと一緒で、１枚あたりのババの当選確率1/49は変化しません。各人がハズレを引いても、それは各人の手元にある当選かハズレかunknownなクジとは無関係に生起しているからです。

ババを持っていることで、同じ数字が揃う生起確率が変わるというのであれば、ベイズの問題として考えなければなりません。

この回答へのお礼

最初に配った時点で、約1/4の確率になり、その後に「確実にジョーカー以外のカード」が減っても、確率は変わらないのは当たり前ですが、なぜ変化すると考えたのかが分かりません。それを説明してください。
あと、この回答もやはり除かれるカードにジョーカーが含まれる可能性があることを前提にしていますよね。

お礼日時：2021/07/11 08:55

No.9 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/07/09 03:20

#8です。

すみません。補足です。

明らかにババでないカードとは、数字が揃う形で明らかになったということで、それ以外は「unknown」です。
unknownの枚数が多いほど怪しいということになりますね。