まず、関数y=-x^2+1とx軸とで囲まれた領域において、長方形ABCDを作ります。(x軸より上に) このとき、長方形ABCDの面積が最大になるものを求めたいのですが・・・
どうやって求めたら良いのでしょう?分からず困ってます。どなたかお願いします!あっ、ちなみに頂点Aの座標を(x,0)として考えます。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (5件)

またまた間違えていました。


長方形ABCDの面積はAB×ADですよね。すみません。
回答No.4の中ほどの「これに辺ACの長さをかけて」というところも、
「これに辺ADの長さをかけて」と読み替えてください。
    • good
    • 0

まず、私の前回の回答の訂正から。


長方形ABCDの面積は、辺AB×ACですよね。「ADの長さとBCの長さを掛けたものです」なんて書きましたが、とんでもなくお恥ずかしい間違いでした。

さてy=x^4-1に接する長方形の方ですが、解き方は同様です。
しかしながら(-8×5^3/4)/25 というのは、一見して誤りだと分かります。面積が負になることはありませんから。

では同様にして解いてみます。
頂点Aの座標を(a,0)とおきます。Bは(a,a^4-1)、Cは(-a,a^4-1)、Dは(-a,0)です。
このときの辺ABの長さですが、a^4-1ではありません。
辺の長さですから厳密には絶対値記号を使って書く必要があり、その値は|a^4-1|になります。
題意のaの範囲は0≦a≦1 (*1)ですから絶対値記号の中は常に負です。
従って絶対値符号は |a^4-1|=1-a^4 として外せばよいことになります。
これに辺ACの長さを掛けて
 S(a)=2a(1-a^4)
を得ます。(aの範囲は0≦a≦1としましたので、|a|=aとして処理して良いわけです)

S'(a)を作って=0とおくと a=±(1/5)^(1/4) を得ます。この場合虚根は考えに入れなくて良く、また負の根はaの変域に合致しませんから外します。
同様に増減表を作って調べてみてください。
a=(1/5)^(1/4)でS(a)は極大となり、また同時に、区間0≦a≦1での最大となっていることが分かるはずです。

従って回答は
「a=(1/5)^(1/4) (4乗根5分の1)の時に
最大値 (8/5)×(1/5)^(1/4) をとる」
ということになります。
これは(8×5^3/4)/25と同じ値ですから、hariganeさんは考え方はほぼマスターされていて、符号の正負だけ間違えていたということになりますね。おそらくは辺ABの長さの表式のところで正負を間違われたのでしょう。

納得いきました?
    • good
    • 0

頂点Aの座標ですが、(a,0)とおくことにさせてください。

(xとおくと、変数と紛らわしいため)
また0≦aに限定しても一般性を失いませんので、簡単のため0≦aとします。
また自動的に 0≦a≦1 の制約がついていることにも留意ください。

問題は題意の長方形の面積(S(a)とおくことにします)をaで表し、aを変化させた時の面積Sの極大を求めることに尽きます。

頂点Aから左回りにB, C, Dと頂点に名前をつけることにします。このときB, C, Dの座標はどうなるでしょうか?
Bはx軸上の点Aから、x軸に垂直な線を引き、題意の放物線とぶつかった点にあるはずです。
すなわちBの頂点は(a, -a^2+1)です。
Cはどうでしょうか? Bからx軸負方向に真直ぐ線を伸ばし、題意の放物線とぶつかった場所にあるはずです。
DはさらにCから、x軸に下ろした垂線の足になっているはずです。
C, Dの座標は自力で求めてみてください。

さてこのときの長方形の面積ですが、言うまでもなくADの長さとBCの長さを掛けたものです。
従って S(a)=2a×(-a^2+1) と表されます。aの3次関数ですね。
極大に注意しながら与えられた区間(0≦a≦1)でS(a)の最大を求めます。
S'(a)を作って=0とおくと、この関数はa=1/√3で極値を持つことが分かります。
前後の符号の変化を調べると、ここでは極大ですね。

ただし極値は一般に、必ずしもその区間での最大値や最小値とは限らないことに注意してください。
(∵区間の端で最大をとるようなことがあり得る)
慌てずに吟味をする必要があります。
そのためには増減表を書いて調べます。増減表を書くと、題意の区間では

a   0  1/√3  1
S'(a) 2 +  0 - -4
S(a) 0 増 極大 減 0 

となっているはずですので、極大=最大として良いことが分かります。

解答の総ては書きませんでしたので、抜けている部分はご自分で鉛筆を動かしながら考えてみてください。
また計算間違いをしているかも知れませんので、併せてご自分で確認ください。

この回答への補足

y=x^4-1の場合でやると、答えは、S(a)=(-8×5^3/4)/25 とでてきますが、この場合これが、最大なのでしょうか?どうでしょうか?(間違ってたらごめんなさい)

補足日時:2001/08/31 01:52
    • good
    • 0

間違えました。


s’(t)=2(1-3t^2)です。
よってt=1/√3のとき、maxs(t)=s(1/√3)=4√3/9
t=xにかきなおして終わり。
今度は大丈夫。
    • good
    • 0

xじゃまぎらわしいので、いったんtとおきあとでxに戻すことにする。


A(t,0)とした場合、
B(t,-t^2+1),C(-t,0),D(-t,-t^2+1)で最大である。

面積をs(t)とすると、
s(t)=2t(1-t^2)である。

s’(t)=2(1-t^2)+2t(-2t)
=2(1-5t^2)

よってt=1/√5のとき、maxs(t)=s(1/√5)=8√5/25
t=xにかきなおして終わり。
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q座標(x,y)から座標(x2,y2)を頂点としてとおり座標(x3,y3)と交わる放物線?

現在プログラムを作成しているのですが、とあるグラフを表示して
欲しいと言われ困っています。

ニーズは 任意の座標(x,y)と座標(x3,y3)を放物線で記すこと。
ただし、この放物線はxからx3の間隔の8:2の場所に頂点(x2,y2)が
あること。 です。

すなわち・・・
(x,y)が(0,50)で(x3,y3)が(100,25)なら 頂点(x2,y2)は(80,?)に
あるグラフです。

そもそも、こんなグラフを式でかけるんでしょうか?
かけるとしたらどんな式で書けばいいのか教えてください。

条件としては
必ず x<=x3 , y>=y3 , xとx3の間隔は最低100です。

いろいろ参考書とか見てみたのですが、ギブアップです。
お助けください。

Aベストアンサー

>(x,y)が(0,50)で(x3,y3)が(100,25)なら 頂点(x2,y2)は(80,?)にあるグラフです。......

頂点とは、放物線とその対称軸との交点だとしましょう。
また、放物線の回転を許容します。

試している暇が無いので、筋書きだけ。

(1) (0,50) と (100,25) を結ぶ線分に、その中点で直交する直線 Lc を引く。
(2) 直線 Lc と直線 x=80 の交点を求める。そこを放物線の頂点 Pc とする。(交点が存在しないことあり)
(3) (0,50), (100,25), Pc を通る放物線が所望の放物線。

あとはフォローして。

Qある長方形の面積から60%も導き、さらにその60%の長方形の面積から2辺の長さを求めたい。

例えば、とある長方形の面積60%の値を求めて、さらにその60%の面積になる長方形の、
縦と横の辺の長さを求めたいです。
数学が苦手で、どの様に計算したら良いか、わかりません。。どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「2.9x1.7」の長方形の免責は 2.9×1.7=4.93 になります。
この長方形の面積の60%の60%は 4.93×0.6×0.6=1.7748 です。
長方形の縦横の比を同じにすると云う事は、同じ数で割ればよいのですから、
縦は 2.9×0.6=1.74 、横は 1.7×0.6=1.02 になります。
(確かめ算 1.74×1.02=1.7748 で、正しい事が解ります。)

>例えば、「2.9x1.7」の長方形の60%時の縦と横の辺を求めるには、

縦と横を掛けた値が元の60%ですから、一つ一つは0.6の平方根を掛けた物になります。
(2.9×√0.6)×(1.7×√0.6)=2.9×1.7×0.6 になり、実際に√0.6を計算する必要が無くなります。
(実際は0.6の平方根は無理数になり、約0.7746 です。)

エクセルで記入するには、それぞれのセルに計算式を入れるだけです。
セルA1の数字の平方根をA2に入れたい場合は、
A2のセルに関数SQRT(A1)と入力します。

Q数学の問題について質問です。 問題 :放物線y=x^2+xをx軸方向にa,y軸方向にa^2だけ平行移

数学の問題について質問です。 問題
:放物線y=x^2+xをx軸方向にa,y軸方向にa^2だけ平行移動したら、点(0,3)を通る放物線になった,このときaの値を求めよ。

解答
:y-a^2=(x-a)^2+x-a
これが、点(0,3)を通るから
3-a^2=(-a)^2-a
⇔(a+1)(2a-3)=0

∴a=-1,3/2

ここで質問です。
y-a^2=(x-a)^2+x-aの式を導き出すには、どこに着目すれば導きだせますか?
解答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

y-a^2=(x-a)^2+x-a の意味ですが、
y=x^2+x の元の放物線に対し
x軸方向にa動かす事が、xに(x-a)を代入することを意味しています
また、y軸方向にa^2を動かすことが、yに(y-a^2)を代入することをいみしています。

放物線の2次方程式で基本形というのを習ったと思いますが、
基本形は
y=(x-a)^2-b で(a,b)がその頂点の座標を表します。
それを応用したような考え方で、与えられた放物線の式、y=x^2+x をあまり弄らずに、
x軸方向、y軸方向の移動のみで考えた計算方法だと思います。

Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Qx^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2

x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)
となるのはなぜですか?
教えてください。

Aベストアンサー

1+r+r^2+・・・+r^(n-1)=(1-r^n)/(1-r)

r=x/yとおくと

1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)={1-(x/y)^n}/{1-(x/y)}
故に、
{1-(x/y)^n}={1-(x/y)}{1+(x/y)+(x/y)^2+・・・+(x/y)^(n-1)}

両辺にy^nを乗じて
x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y^2+・・・+y^n-1)


人気Q&Aランキング

おすすめ情報