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この問題を解いてみたのですが、どこかで計算ミスをしているのか回答があいません。
模範解答が存在するわけではないのですが、この問題の回答は線積分の始点と終点が同じなのでゼロになると予想されます。
しかし、記した回答のすべてを足してもゼロにはなりません。
Cは三角領域を囲む閉曲線です

この解法のどこに誤りがあるのか教えていただきたいです。
解像度の都合で問題は下記のリンクに添付しております
https://imgur.com/a/D1t4VY1
何卒よろしくお願いいたします

A 回答 (3件)

A=<0,0,y³z/3>


なので、xy平面で z=0 , x-z平面で y=0 だから、A=0 → ∫A・ds=0

したがって、y-z平面の積分しか残りません。
ここでのCは 2y+z=2 → dz=-2dy → ds=<0, 1, -2>dy

∫A・ds=∫(y³z/3)(-2dy)=
  =(-2/3)∫[y=1→0] y³(2-2y) dy
  =(4/3)∫[y=0→1] (y³-y⁴) dy= (4/3)[y⁴/4-y⁵/5][1,0]
  =(4/3)(1/4-1/5)=(4/3)/20=1/15
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この回答へのお礼

回答まで教えてくださり、ありがとうございました

お礼日時:2021/07/11 07:58

>この問題の回答は線積分の始点と終点が同じなので


>ゼロになると予想されます。

これは誤り。

それと積分の線素を位置ベクトルみたいに扱ってるけど
メチャクチャです。
1次元の積分だったら絶対こんなことしませんよね。

線素の意味を思い出しましょう。
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この回答へのお礼

確かによく見直してみるとかなり雑でした。
ありがとうございます

お礼日時:2021/07/11 07:57

>この問題の回答は線積分の始点と終点が同じなのでゼロになると予想されます



この予想がそもそも間違っています。
もし任意のベクトル場でそのようなことが成り立つのであれば私たちの生活は成り立ちません。なんせ電磁誘導による発電が一切不可能になるのですから。
(電磁誘導で発生した電場が1周コイルをループすることで電位差を生む、つまりコイルに沿って電界を周回積分した値が0にならないため発電ができるのです)

周回積分をした値が任意の経路で0になる条件はrot A→=0→がすべての点で成り立つことです。このことはストークスの定理から得られます。
今回のベクトル場の回転は特定の点を除き0→になりませんので周回積分が0になることはむしろ稀です。

今回の計算をストークスの定理を使って計算しみましょう。その答えと一致すれば多分計算は間違っていないでしょう。

最後になりますが、質問者の計算式が間違っています。
例えばxz平面での計算ですが
r→=(t,0,2-2t)
をそのまま式に入れていますね。
dr→=dr→/dt*dt=(dt/dt,0,d(2-2t)/dt)*dt=(1,0,-2)dt
です。r→をtで微分するの忘れています。
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この回答へのお礼

ありがとう

理解致しました。
本当にありがとうございます

お礼日時:2021/07/11 07:56

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