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極大値 極小値について、

画像のように、導関数=0にして
極値が4と出たのですが、

導関数の切片が-1
極値が4ということから、
この極値は、極小値だと思うのですが、
あっていますか?

「極大値 極小値について、 画像のように、」の質問画像

A 回答 (5件)

f(x)=4√(x)ーx


増減表から
x= 0 1 4 9
f(x) 0 3 4 3
f'(x) - 1 0 -1/3
x=4は最大値
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ミスプリ:



x が 4 を跨いで増加するとき
f’(x) は正から負へ変化し、従って
f(x) は増加から減少へ転じますね。
つまり、 f(x) は x = 4 で極大になります。
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この導関数の y切片は、 -1 じゃありませんよ?


x = 0 を代入するか、 x → +0 の極限をとってみれば判ります。

f’(x) = 0 となる x = a が f(x) の極値がどうかは、
x が a よりほんのちょっと小さいときの f’(x) の正負と
x が a よりほんのちょっと大きいときの f’(x) の正負を
調べてみれば判ります。

f’(x) = 2/√x - 1 であれば、
x が 4 よりほんのちょっと小さいとき
f’(x) = 2/√(4 よりほんのちょっと小さい) - 1
  = 2/(2 よりほんのちょっと小さい) - 1
  = (1 よりほんのちょっと大きい) - 1
  = 0 よりほんのちょっと大きい
  > 0,
x が 4 よりほんのちょっと大きいとき
f’(x) = 2/√(4 よりほんのちょっと大きい) - 1
  = 2/(2 よりほんのちょっと大きい) - 1
  = (1 よりほんのちょっと小さい) - 1
  = 0 よりほんのちょっと小さい
  < 0.
で、 x が 2 を跨いで増加するとき
f’(x) は正から負へ変化し、従って
f(x) は増加から減少へ転じますね。
つまり、 f(x) は x = 2 で極大になります。

この話から「ちょっと小さい」「ちょっと大きい」を除いて
厳密に扱うためには、 グラフに依るのですが、
グラフを描く手間を省くには、増減表で代用します。
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この関数の定義域はx>0


ゆえに縦軸との切片はありません。

まあ、でもf'は単調減少だから
x=4の直前はf'>0
直後はf'<0
ゆえに x=4で極大とはんだんできます

もう少し厳密にやるなら
第二次導関数を調べる
f''(x)=-1/(x√x)
f'(4)=0
f''(4)<0
だから
x=4は極大
と判断します
(第2次導関数と極値についてはテキスト参照してください)
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4は極値ではありません。


極値を取るxの値です。

xを増大させた時にf'(x)が正から負に転じる点が極大値で負から正に転じる点が極小値です。
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