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Qバー={α⊂C| αがQ上代数的}は代数的閉体ではありませんよね?

その理由を説明していただけないでしょうか?

gooドクター

A 回答 (3件)

Qバー={α∈C| αがQ上代数的}



代数的数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0 …

書いてあるように

Qバー は 代数的閉体である。

代数的数とは複素数であって,有理数係数(整数係数)の0でない1変数多項式=0の根となるものをいう
全ての整数や有理数は代数的数であり、また全ての整数の冪根も代数的数である。
実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。
例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である

Qバーは、有理数体の無限次元の代数拡大体である。

また、代数的数を係数とする 0 ではない多項式の根は代数的数であるので、

Qバー は 代数的閉体である。

さらに、有理数体を含む任意の代数的閉体は、
Qバー を含むので、有理数体の代数的閉包でもある。
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そも


{α⊂C| αがQ上代数的}
ってどういう意味? 「α⊂C」は「α が C の部分集合」といっているんだけど, その (集合である) α が「Q上代数的」とはどういうこと? さらに「Q上代数的」な集合の族である「Qバー」が「代数的閉体」とは (あるいは「代数的閉体でない」とは) どのように定義している?

「⊂」でなく「∈」だったら, つまり
{α∈C|α が Q上代数的}
なら代数的に閉じてるよ.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0 …
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この回答へのお礼

∈の記号がキーボードで入力する方法が分からなくて、⊂と入力してしまいました……
コメントありがとうございます

お礼日時:2021/07/12 09:20

Q係数ですら、5次方程式に代数解が無い場合があるからじゃない?

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