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集合の濃度の問題です。 「A=(-1,0)∪(0,1)={x| |x|<1,x≠0}とする。#A=#(-1,1)を示せ。」 解説して頂けると幸いです。

質問者からの補足コメント

  • Aを有限集合とする時、Aの要素の個数をAの濃度といい、#Aで表す
    という前提の問題です。
    今回のような無限集合の場合は、無限集合Aの同値類を集合Aの濃度といい、#Aと表しています。

      補足日時:2021/07/13 00:12

A 回答 (5件)

< No.4 それダメす。

∀x(x∈A ⇒ f(x)=x)だから。

  B = (-1,1) = { x | |x|<1}
  A = B \ {0}
 さて、#A=#B ⇔(#A≦#B ∧ #A≧#B) じゃなかったっけ。ならば、A⊂Bなので#A≦#Bは自明。あとは#A≧#Bを言うだけでしょう。すなわちA→Bの全射gを構成するだけ。例えば
  g(x) = if x<0 then x else (2x - [2x]) ([ ] は整数部分。ガウスの記号)
とやると g(1/2)=0。もちろん、例えばf(0.7) = f(0.4)だからこれは1:1対応ではない。けれども全射、すなわち
  ∀y(y∈B ⇒ ∃x(x∈A ∧ g(x)=y))
だから#A≧#B。
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具体的な一対一対応として、


f:A→(-1,1)
 x が自然数のとき f(x) = x-1,
 それ以外のとき  f(x) = x.
なんてどお? (ヒルベルトのホテル)
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全単射を作るなら「B から A」の方がちょっとだけ考えやすいかもしれない. 一例としてはこんな作り方ができる:


A は B から 1点だけ穴が空いているので, この穴を B のどこかから埋める. もちろんそうすると「別のところ」に穴ができるので, その穴は「また別のところ」から埋める. こうやって「無限の穴埋め」を実行する.

あるいは, なんかの定理で
A から B への単射と B から A への単射の両方が存在するなら A と B の濃度は同じ
ってのもあったはずで, これを使っていいなら簡単.
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補足コメントですが、「集合の同値類」との記述ですが同値性は結局濃度で定めていると思いますので不正確です。

端折っているならいいのですが、きちんと記述したつもりなら定義を見直しておいた方が良いと思います。
①一般に無限集合それ自身と1点を除いた集合の濃度は等しい(Nからの単射を使えば明らか)です。
よって例えば,{a_n}⊂Aをa_n=1/(n+1)として定め、
f:A→(-1,1)をf(x)=x(x≠1/n),f(1/2)=0,f(a_(n+1))=a_nとするとこれが全単射である事は簡単に確認できると思います。
②ベルンシュタインの定理を知っているなら,A→(-1,1),(-1,1)→Aの単射をそれぞれ構成すると良いです。
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なにに困っている?



「#」の意味は念のため書いておくべきなんだろうなぁ.
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この回答へのお礼

B=(-1,1)とおいて、A→Bの全単射写像が存在することを示せば良いのだろうという検討はついているのですが、(間違っていたら指摘してください。)そこから先が進みません。

お礼日時:2021/07/13 00:19

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