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f(x)=arctan11x-9/9x+11を微分せよ。という問題の解法を教えて頂きたいです。

gooドクター

A 回答 (2件)

途中 2ヶ所で間違えていて, 結果的に正しい答えになってる>#1.



dt/dθ = 1/(cos^2 θ) はいいけどそのあとは
= 1+tan^2 θ
だよね. つまり dt/dθ の結果は分子と分母が逆.

ところがそのあとで f'(x) = (dt/dx)/(dt/dθ) と書いているのに dt/dθ のところはその逆数を書いてる.

本題としては
arctan x を x で微分
できるなら単純に「合成関数の微分」でいくだけでいい. 書き方が違うだけでやることは #1 と全く同じだけど.
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f(x) = arctan( (11x - 9)/(9x + 11) ) ってこと?



(11x - 9)/(9x + 11) = t = tanθ と置くと
f(x) = θ だから、

f’(x) = dθ/dx
   = (dt/dx)/(dt/dθ),
dt/dx = { 11(9x + 11) - (11x - 9)9 }/(9x + 11)²
   = 202/(9 x + 11)²,
dt/dθ = 1/(cosθ)²
    = 1/{ 1 + (tanθ)² }
    = 1/{ 1 + ( (11x - 9)/(9x + 11) )² }
より、

f’(x) = { 202/(9 x + 11)² } / { 1 + ( (11x - 9)/(9x + 11) )² }
   = 202/{ (9 x + 11)² + (11x - 9)² }
   = 202/{ 202(x^2 + 1) }
   = 1/(x^2 + 1).
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