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条件pに合致する集合Pが,条件qに合致する集合Qに含まれている,すなわちP⊂Qならば「pならばq」ですが,このときP⊂Qを成り立たなくすれば、否定したことになるのでしょうか?

A 回答 (3件)

No.2さんが述べているように、


  「P⊂Q」ということと「pならばq」ということは、同値(同じこと)
ですから、
  「P⊂Q」ならば、「pならばq」
ですし、
  「pならばq」ならば「P⊂Q」
です。ですから、
  「P⊂Q」を否定する
ことは、
  「pならばq」を“否定”する
ことと同じです。

なお、
  「P⊂Q」を否定する
とは、
  集合Pの元の中に、集合Qの元になっていないものが(少なくとも1つは)ある。
ということであり、
  「pならばq」を“否定”する
とは、この場合、
  条件pが成り立っているのにもかかわらず、条件qが成り立っていない場合が
  (少なくとも1つは)ある。
ということです。

蛇足ながら、条件p,qに対して、「pならばq」というのが命題で、その内容は「条件pが成り立つときは、いつでも必ず、条件qが成り立つ。」という主張です。
そして、1つの命題に対して、その命題の「逆」、「裏」、「対偶」と呼ばれる命題があり、また、命題はすべて、「真」か「偽」のどちらかになります。

それに対して、「否定」というのは、「1つの条件p」の「否定」ということあって、その内容は「pでない」というもので、これも1つの条件になります。そして、これには「真」とか「偽」というものはありません。
また、「命題の否定」というものもありません。それを言うなら、「ある命題が偽である。」ということです。

今回のご質問で言えば、「pならばq」というのは(条件pやqについての)命題であり、「P⊂Q」というのは(条件pやqなどから成る集合についての)条件です。
「P⊂Q」(という条件)の「否定」は、「pならばq」(という命題)が「偽」である、ということを表している、という訳です。

このように、厳密なことを言うと、「否定」と「偽」というのは、元々は意味合いが違うのです。ただし、今回のご質問のように、考える次元が違う場合に同じ意味合いになることもある、ということです。

蛇足が長々となり済みません。
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この回答へのお礼

とてもよくわかりました、貴方はものすごく、教えるのが上手です。感謝感謝!!

お礼日時:2005/03/04 01:47

正確に書くと次のようになります。


Uを全体集合とします。P,Qは命題関数p(x),q(x)の真理集合で
 P = { x∈U | p(x)=真 }
 Q = { x∈U | q(x)=真 }
により定義されます。このとき、p(x)→q(x)の真理集合は
 Pbar ∪ Q
となります(但し、PbarはPの補集合)。

ご質問に書かれていることは、次のように言いかえることが出来ます(⇔は両辺が必要十分条件であることを表すとします)。
 "∀x∈U : p(x)→q(x)" ⇔ Pbar ∪ Q = U ⇔ P⊂ Q
このとき、¬を否定として
 ¬(P⊂Q) ⇔ ¬(∀x∈U : p(x)→q(x)) ⇔ ∃x∈U :¬(p(x)→q(x))
となります。

つまり、P⊂Qが成り立たないことと、p(x)→q(x)でないxが存在することが同値になります。もちろん、これは"全てのxについてp(x)→q(x)でない"ということではありません。

この回答への補足

返信していただいたのはありがたいのですが、見たことのない数式がたくさんあって、よくわかりません・・・・すいません

補足日時:2005/03/04 01:40
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ご質問の中に、


  「このときP⊂Qを成り立たなくすれば、否定したことになるのでしょうか?」
とありますが、この「否定」というのは、どのようなことを言っているのでしょうか?

命題論理における「否定」というのは普通、1つの「条件」に対して、「その「条件」が成り立たない」という新たな「条件」を指すと思いますが、今回の質問の場合、もしただ単に「「pならばq」が、常に成り立つとは限らない。」とか「「pならばq」という命題が、偽である。」という意味で「否定したことになる。」というのであれば、それはもちろん「P⊂Q」が成り立たなければ、「否定したことに」なると思いますが・・・。

この回答への補足

「その「条件」が成り立たない」という新たな「条件」=否定でないのですか?

補足日時:2005/03/02 23:07
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