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いくら考えても「無限ホテルのパラドックス」が納得できません
まず、無限ホテル全ての部屋に客が泊まっているという前提が理解できません
無限に作られた部屋全てが埋まったらそれは有限でしょう?仮に全て埋まったとしても、また部屋は増えていくはずです。
そしてある日、利用客が新たに1人訪れた際に宿泊客を全員隣の部屋に移動するという謎行動も理解できないですし(その新客を1番後ろの部屋に案内すればいいだけの話では?)さらに数日後無限の客が来る(ホテルには既に無限の客がいるのに!!)という。



そもそも、無限ホテルに無限の人がいるのに追加で客が来るのが不思議。無限なら、追加できた客も元々ホテルに泊まっていないとおかしいですよね?

gooドクター

A 回答 (6件)

そもそも、そんなホテルありません。


∞+1=∞ 
∞+∞=∞
を表現するための、ただのたとえです。
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「無限ホテルのパラドックス」のどこがパラドクスなのか


私には解らないんですがね。 単に自然数は無限にある
というだけのアタリマエの話なんで。

> 無限ホテル全ての部屋に客が泊まっているという前提が理解できません
ホテルに無限個の部屋があることには納得できて
その部屋が全て埋まっていることは理解できない理由は何でしょう。
部屋は無限でもいいけど、宿泊客は有限でないといけないという考えかな?

> 無限に作られた部屋全てが埋まったらそれは有限でしょう?
「それ」って何です? 単に部屋も宿泊客も無限で
それらが一対一に対応しているってだけなんですが。
何が有限だと思うのですか? ここは要説明です。

> 仮に全て埋まったとしても、また部屋は増えていくはずです。
ホテルを増築する話は出てきてませんよ。
部屋を増やす話をまぜたら、満室だとか満室でないとか
いう話はできなくなってしまいます。 部屋は(無限個で)固定だからこそ
満室にまた客が来ても収容できる話が面白いのでしょう?

> 宿泊客を全員隣の部屋に移動するという謎行動も理解できないですし
それを謎と思うかどうかは、あなたの気持ちの問題でしかありません。
思考実験というのは、設定や前提条件に疑問を挟んだら
そもそも成り立たないのです。 if なくして SF はありません。

> その新客を1番後ろの部屋に案内すればいいだけの話では?
無限ホテルは部屋数が無限なので、「1番後ろの部屋」が存在しません。
最大の自然数って何だと思うのですか?

> 無限なら、追加できた客も元々ホテルに泊まっていないとおかしいですよね?
そんなことはないでしょう? 例えば、全ての「人」に背番号がついていて、
その「人」たちが無限人いたとします。 最初に無限ホテルの部屋番号 n に
背番号 2n の人を止めたとして、 後から背番号 1 や 3 の人が来ることも、
背番号が奇数の人全員(無限人いる!)が来ることもできますよね。
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なお「無限ホテルの宿泊客の移動の完了には無限の時間がかかる」と言う意見については「宿泊客の移動は同時に行う」と考えれば「部屋の移動が終わるまで無限の時間がかかる」と言う事はなくなるはずです。

そもそもこの部屋の移動の問題は「満室だったはずなのに部屋を移動できる(&空室ができる)」と言う点が重要なのであって、部屋の移動にかかる時間は問題視していません。
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まず「部屋が全部埋まっていたらそれは有限」と言う発想が根本的に間違っています。

ホテルの部屋が空いているか埋まっているかについてはどちらの可能性もあるわけですから、部屋数が無限個であれば「全部満室」と言う場合も当然あり得ますし、その場合の部屋数は最初の定義によって無限個です。それから部屋数が無限個ですから、部屋数が有限個の場合と違って「一番後ろの部屋番号」と言うものが存在しません。一番後ろの部屋と言うのは「一番大きな自然数」と同じ事ですから、そんなものが存在し得ないのは言うまでもないでしょう。あと最後の疑問に関しては単純に「元々別の無限ホテルに泊まっていた団体客が問題の無限ホテルに泊まりに来た」とでも考えれば何の問題もありません。「団体の宿泊客がホテルを移動」は現実にもあり得る話ですし。


なお無限ホテルの問題が摩訶不思議に思えるのは、無限と言うものを有限の数と同じような「数の一種」と考える事、並びに有言個の場合の思考法を無限個の場合にそのまま当てはめようとする事から来ると思います。
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>無限ホテル全ての部屋に客が泊まっているという前提



客が入室しているかどうか、1号室から昇順に各室を確認してゆけども、決しても空室に巡り合わないという状態です。

>そしてある日、利用客が新たに1人訪れた際に宿泊客を全員隣の部屋に移動するという謎行動も理解できない。

この行動は全体が完了するのに無限の時間がかかる=完了しない、というところがミソなのです。このミソが理解できない人はこのパラドックスを理解できないでしょう。

1号室に居た人が2号室の人を追い出して、2号室に居た人が3号室の人を追い出して、、、という行為は決して完了しないが、1号室に居た人が2号室の人を追い出している時点で、1号室は空いたので、ここに新しい客を入れてしまえば良いのです。「各部屋のシフトが完了する前に1号室に入れる」。

>無限ホテルに無限の人がいるのに追加で客が来るのが不思議。無限なら、追加できた客も元々ホテルに泊まっていないとおかしいですよね?

それは良い質問ですね。

無限ホテルは無限のアメリカ人で満室だったところに、一人のイギリス人がやってきたと考える柔軟性があれば疑問は解消します。
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無限ホテルの宿泊客がイメージできないなら、無限ホテルの部屋に自然数の部屋番号を割り振る、と考えてみてはどうですか。



1号室は1。
2号室は2。
n号室はn。

無限にある部屋に対して、無限に存在する自然数を割り当てます。

そこで、1号室の手前に部屋を増築してしまったら、部屋番号はどうしたらいいでしょう。

増築した部屋は一番後ろの数字を当てはめるといっても、当てはめた数字より大きい数字が存在しますから、新しい部屋に一番後ろの部屋番号を割り振るのは難しいです。

じゃあどうするかといえば、従来の部屋番号はすべてn+1とし、

新たに増築した部屋は1号室。
従来の1号室は1+1、つまり新たな2号室。
従来のn号室は新たなn+1号室。

とすれば解決です。

この手順を繰り返せば、手前側に無限に部屋を増築できます。

無限にある部屋に新たなお客が来るというのはこういうイメージです。
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