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実数値関数fがf(x)=1/x^(3) , x=1,2,3.....で与えられるとするとき∑(n, x=1) f(x)が収束することを示してください。

gooドクター

A 回答 (1件)

∑[x=1〜n] f(x) は、収束するも何も項数 n の有限和です。


lim[n→∞] ∑[x=1〜n] f(x) のことを言っているのかな?

優級数収束定理というのがあって、各項が正の級数は
それぞれの項がより大きい級数が収束すれば収束します。
∀n, 0 ≦ a(n) ≦ b(n). かつ Σ[n=1→∞] b(n) が収束するならば
Σ[n=1→∞] a(n) は収束。

2以上の自然数 n と実数 x に対して
n-1 ≦ x < n で 0 < 1/n^3 < 1/x^3 であることから、
x で積分して
0 < (1/n^3) ∫[n-1,n] dx = 1/n^3 < ∫[n-1,n] 1/x^3 dx.
これを使って、
0 ≦ Σ[n=1→∞] 1/n^3 ≦ 1 + Σ[n=2→∞] ∫[n-1,n] 1/x^3 dx
           = 1 + ∫[1,∞] 1/x^3 dx
           = 1 + [ (-1/2)x^-2 ]_(1,∞)
           = 1 + { lim[x→∞](-1/2)x^-2 - (-1/2)1^-2 }
           = 1 + { 0 + 1/2 }.

優級数 Σ[n=2→∞] ∫[n-1,n] 1/x^3 dx が収束するから、
Σ[n=2→∞] 1/n^3 は収束する。 よって Σ[n=1→∞] 1/n^3 も。
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この回答へのお礼

優秀な回答者様本当にありがとうございます

お礼日時:2021/07/26 01:13

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