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なぜ赤い下線部を積分すると右辺の指数aが分母に来るのでしょうか?
微分の定義を用いてそうなる原理を証明して頂けないでしょうか?
また、区分求積法と何か関係はあるのでしょうか?

「なぜ赤い下線部を積分すると右辺の指数aが」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分すると指数xではなく、指数aが行くのでしょうか?
    詳しく理由を教えて下さい。

      補足日時:2021/07/26 14:34

A 回答 (6件)

解析学では、積分自体を


区分求積法をもう少し一般化したような方法で定義し、
その定義に基づいて微積分学の基本定理
(積分が微分の逆操作であること)を証明するのですが、

高校数学では、積分を最初から微分の逆操作として定義します。
高校数学の立場では、 f(x) に対して
dF(x)/dx = f(x) となる F(x) をたまたま知ってたから ←[1]
∫ f(x) dx = F(x) + (積分定数) だと結論できた
という話の順番になっているのです。

微分については、合成関数の微分法則というのがあって
d{ e^(ax) }/dx = d{ e^t }/dx     ; ax = t と置いた
       = ( d{ e^t }/dt )( dt/dx)
       = ( e^t )( a )
       = a e^(ax) ←[2]
なので、 a で割って
d{ (1/a) e^(ax) }/dx = e^(ax) です。 ←[3]

この式を [1] の話にあてはめると、
∫ e^(ax) dx = (1/a) e^(ax) + (積分定数) となります。
質問の 1/a は、 [3] 左辺の 1/a であり、
もともとは [2] 右辺の a から出たものです。
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ま、置換積分でやれば簡単に求まるでしょう



別方としては e^xの微分に着目です
定義を持ち出さずとも
(e^x)'=e^x ですから
微分前のもとの関数e^xについての積分は
∫(e^x)dx=∫(e^x)'dx です
これを考察して見てください
この右辺は微分したものを積分ですから
もとの関数に戻るのが道理です(積分定数は除いて)
ゆえに ∫(e^x)dx=∫(e^x)'dx=e^x(+C)
このように
∫(●●)'dxという形を作ってあげると 簡単に積分結果は元の●●だと見当がつきます

これと類似のe^axも似た感じだなと目星をつけて
同様にもとの関数を微分してみますと
合成関数の導関数だから
(e^ax)'=(e^ax)・(ax)'=a(e^ax)
よって
e^ax=(a/a)(e^ax)=(1/a)a(e^ax)=(1/a)(e^ax)'
であることがわかりますよね
このことから 微分して積分すれば元の戻るという考えに基づいて
∫e^ax dx=∫(1/a)(e^ax)'
=(1/a)∫(e^ax)'dx
=(1/a)(e^ax) ←←←∫(e^ax)'dxは e^axを微分して積分だから
          もとのe^axに戻った
以上から分かる通り
1/aとは、 あらかじめ(e^ax)を微分したときに出現したもので
それが最終的には係数として積分記号の外にでたものなんです
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(eªˣ)'=aeªˣだから。


積分は微分の逆演算。
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こんにちは。



微分と積分は、対になっているので、右辺の微分が左辺の中身になるというのではダメですか?
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置換積分です


ax=tと置くと、dx=(1/a)dt
∫e^(ax)dx=(1/a)∫e^tdt=(1/a)e^t後は、t=axに戻すだけ
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e^(ax) を微分すると ae^(ax) になりますので、


(1/a)e^(ax) を微分すると e^(ax) になります.
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