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なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分すると指数が分母にaが行くのに、
もう一つの画像のsinのnは指数ではなく角度なのに積分すると分母にnがいくのでしょうか?
微分の定義などを用いて証明する事は可能でしょうか?

「なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • masterさん、なんで積分した式に ' がついているのですが?

    「なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分」の補足画像1
      補足日時:2021/07/26 13:33
  • なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分すると指数xではなく、指数aが行くのでしょうか?
    詳しく理由を教えて下さい。

    「なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分」の補足画像2
      補足日時:2021/07/26 14:33
gooドクター

A 回答 (5件)

↓こっちに回答しました。


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12479743.html

> もう一つの画像のsin
がどこにもありませんが、おそらくは
∫ (sin nx) dx = (1/n)(- cos nx) + (積分定数)
のことを言っているのだろうと思います。

これも前の質問の回答と同じように、合成関数の微分
d{ - cos nx }/dx = d{ - cos t }/dx     ; nx = t と置いた
       = ( d{ - cos t }/dt )( dt/dx )
       = ( sin t )( n )
       = n (sin nx)      ←[1]
より、 d{ (1/n)(- cos nx) }/dx = sin nx. ←[2]

積分が微分の逆操作であることから
∫ (sin nx) dx = (1/n)(- cos nx) + (積分定数) です。 ←[3]
[3] 右辺の 1/n は、 [2] 左辺の 1/n であり。
もともと [1] 右辺の n から出たものです。

指数関数だから、三角関数だからという話でなく、
∫ f(x) dx = F(x) + (定数) であれば
∫ f(ax) dx = (1/a) F(ax) + (定数) になります。
それは、前回の回答に書いたとおりです。
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あなたの もう1この質問の方に詳しいことは書いてい置きましたから


まずはそちらを読んでください

それに書いた通り 微分と積分の関係は 
掛け算と割り算の関係のように
あたかも真逆の操作だとみなすとすると
 
左辺から右辺に変形できたのは
積分の操作の結果ですから
真逆向きにたどって右辺を微分したものが左辺だともいえるのです!

では 実際に右辺から左辺へ 微分して変形してみましょう
ただ、その前に「合成関数の導関数」を知っていないと話にならんので
確認しておいてください
合成関数の微分ほうにより
右辺微分={(1/a)(e^ax)}'
=(1/a){(e^ax)}'
=(1/a){(e^ax)・a}
=e^ax
=左辺被積分関数
係数も含めて矛盾なしです
つまり 積分結果を微分して左辺の被積分関数(∫記号のなかの式)にもどればその積分は正しいという事です(これは検算としても良く行いますよね)

次に、右辺を仮に1/aがつかないとヴァージョンに変更して
つまりこの積分の答えが(e^ax)と出てしまったとして微分(検算)してみましょう
右辺の微分={(e^ax)}'=a(e^ax)≠左辺被積分関数
本来e^axという微分結果を得たいところだが
このようになるので、1/aをつけないと 係数aの分だけずれが生じてしまうのです
つまりは、1/aはこのずれの分を修正するための数値なのです

もっというと
{(e^ax)}'=a(e^ax)を両辺とも積分して
∫{(e^ax)}'dx=∫a(e^ax)dx
微分して積分は何もしなかったに等しいですから
この左辺は
∫{(e^ax)}'dx=e^ax
ゆえに
e^ax=∫a(e^ax)dx
です
つまりは
e^axというのは∫a(e^ax)dxというように係数aが付属しているときの積分結果なのです
a∫(e^ax)dx=∫a(e^ax)dx=e^ax
なら aを移行して
a∫(e^ax)dx=e^ax⇔∫(e^ax)dx=(1/a)e^ax
というわけです
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積分記号の中に導関数の式(つまり 'のついた式)が入っていることは


珍しいことではありません。

今回は
∫(1/a)(e^ax)'dx が∫e^ax dxに相当していれば
これらはイコールで結ばれるという事です
そして相当であるためには 積分記号の中身が等しければよいわけです

合成関数の導関数の求め方に沿って微分すると
{(1/a)(e^ax)}'=(1/a)(e^ax)(ax)'=e^axですから
これは積分記号の中身が等しいですよね
ゆえに
∫(1/a)(e^ax)'dx =∫e^ax dx
というわけです

で、微分された式:(e^ax)' を積分だから 微分前に戻ってe^ax
ということを説明する便宜上
係数1/aは積分記号の外に出しておいたというわけです
∫e^ax dx=∫(1/a)(e^ax)'dx (=(1/a)∫(e^ax)dx )
(ただし積分定数については目をつぶってあります)
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もう一つの画像のsinが見えぬ。



微分の逆演算だ、って言ってるだろ!

(x³)'=3x² ∴(x³/3)'=x² ∴∫x²dx=x³/3

(eªˣ)'=aeªˣ ∴(eªˣ/a)'=eªˣ ∴∫eªˣdx=eªˣ/a
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ま、置換積分でやれば簡単に求まるでしょう



別方としては e^xの微分に着目です
定義を持ち出さずとも
(e^x)'=e^x ですから
微分前のもとの関数e^xについての積分は
∫(e^x)dx=∫(e^x)'dx です
これを考察して見てください
この右辺は微分したものを積分ですから
もとの関数に戻るのが道理です(積分定数は除いて)
ゆえに ∫(e^x)dx=∫(e^x)'dx=e^x(+C)
このように
∫(●●)'dxという形を作ってあげると 簡単に積分結果は元の●●だと見当がつきます

これと類似のe^axも似た感じだなと目星をつけて
同様にもとの関数を微分してみますと
合成関数の導関数だから
(e^ax)'=(e^ax)・(ax)'=a(e^ax)
よって
e^ax=(a/a)(e^ax)=(1/a)a(e^ax)=(1/a)(e^ax)'
であることがわかりますよね
このことから 微分して積分すれば元の戻るという考えに基づいて
∫e^ax dx=∫(1/a)(e^ax)'
=(1/a)∫(e^ax)'dx
=(1/a)(e^ax) ←←←∫(e^ax)'dxは e^axを微分して積分だから
          もとのe^axに戻った
以上から分かる通り
1/aとは、 あらかじめ(e^ax)を微分したときに出現したもので
それが最終的には係数として積分記号の外にでたものなんです
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この回答へのお礼

すいません。よくわかりません。

お礼日時:2021/07/26 13:46

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