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学校で配布されたプリントの下の問題を解きました。
分からない問題があるので、そこは飛ばしています。
答えがないので解答を知りたいという意味もありますが、どなたか分かる方、解説と添削をお願いします。

僕の書いた計算過程と答えは、一番下の画像の通りです。

回答、お待ちしております。



問題 1 コのサイコロを振る試行をおこなう。

(1) 1 回の試行で 6 の目が出る確率 p を求めよ。
(答)

(2) x 回目の試行で、初めて 6 の目が出る確率 P(x) を求めよ。
(答)

(3) 6 の目が出るまでの平均の試行回数を求めよ。
(答)

(4) x の分散を求めよ。
(答)

(5) x 回の試行で、一度も 6 の目が出ない確率 Q(x) を求めよ。
(答)

(6) P(x) + Q(x) を求めよ。
(答)

(7) P(1) + P(2) + · · · + P(x) + Q(x) を求めよ。
(答)

(8) 『1コのサイコロを n 回振って、6 の目が出たら勝ち』というゲームが有利
であるためには、n が条件、
P(1) + P(2) + · · · + P(n) >1/2
を満たせば良い。最小の n を求めよ。

(答)

「数学が得意な方、解答と添削をお願いします」の質問画像

A 回答 (4件)

#3です。



(6)について、補足します。

P(x)+Q(x)ですが、
P(x)はx回目にようやくヒットする確率
Q(x)はそれまでにヒットしない確率ですから、
P(x)+Q(x)の余事象は、x回目以前にヒットしている確率になります。

つまり、
P(1)+P(2)+・・・P(x-1)=1-{P(x)+Q(x)}

これより、(7)の、P(1) + P(2) + · · · + P(x) + Q(x)=1が導かれます。

(5)(6)(7)(8)は、それぞれ次の問題の導入問題になっているんですね。たぶん。

ということは、上に書いたことを(7)の解答に添えた方が、採点者の受けは良いかも。
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#2です。



スモールpとラージPは使い分けましょう。

(1)二項分布の問題。1試行あたりの6の目の出る母確率pはp=1/6とする。
n回の試行中、注目する事象がx回生起する確率Pは二項分布に従い、
P=nCx・p^x・(1-p)^(n-x)
これに、n=1,x=1を代入すると、P=1/6

(2)幾何分布の問題。(x-1)回は外れ続けるのだから、
P(x)=(1-1/6)^(x-1)・(1/6)^1
=(5/6)^(x-1)・(1/6)^1
このような式で生起確率分布P(x)が表されるものを幾何分布という。
幾何分布の平均E(x)=1/p、分散V(x)=(1-p)/p^2
この導出は面倒なので、(3)(4)はこの公式を用いるものとする。

(3)平均E(x)=1/p=6

(4)分散V(x)=(1-p)/p^2=30

(5)x回の試行で6の目の生起回数が0なのだから、二項分布の式に
試行回数n=x
生起回数x=0
を代入すれば良い。これをQ(x)とすると、
Q(x)=xC0・(1/6)^0・(5/6)^(x-0)
ここでxC0=1、(1/6)^0=1だから
Q(x)=(5/6)^x

(6)P(x)+Q(x)は、
P(x)+Q(x)=(5/6)^(x-1)・(1/6)^1 + (5/6)^x
=(5/6)^(x-1){(1/6)^1 + (5/6)^1}
=(5/6)^(x-1)

(7) P(1) + P(2) + · · · + P(x) + Q(x) は、
x回までに生起する確率の和とx回試行しても生起しなかった確率の和だから1

(8)P(1) + P(2) + · · · + P(n) >1/2 のとき、
P(1) + P(2) + · · · + P(n) + Q(n)=1だから、
Q(n)<1/2。問題(5)の結果を利用して、
(5/6)^n<1/2
両辺の対数を求めると、
n・log(5/6)<log(1/2)
両辺をlog(5/6)で割ると、ただし、log(5/6)<0であることに注意して、
n>log(1/2)/log(5/6)
n>3.801784
nは整数しか取り得ないからn=4

検算はご自分でお願いします。
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「突然ですが、皆さんの知恵を試したいと思います。

」と統計学のカテに投稿した方ですよね。

幾何分布に関するありふれた問題ですし、それほど自信があるんだったら、そのまま提出すれば良いのでは。
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