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数学 54番
こういう問題どうやったら解けるんですか?
こたえはもうあるのでわかるのですが初見でわかりません。青茶にもないです

「数学 54番 こういう問題どうやったら解」の質問画像

A 回答 (1件)

一番簡単なのは、その角を切り取った立体の


正体を知っていることなんだけど... 有名な話だからね。

答えを知らなければ、絵を書いて数える。
角を切り取った多面体の図を正確に書かなくても、
正十二面体の絵がある程度判るように書けていれば、
角を切り取ったらどうなるか考えることはできる。

正十二面体を知らない?
だとすると、ちょっと厳しいかな。
各面が 5角形で、ひとつの頂点に面が 3枚づつ集まる
ことさえ知っていれば、写真の問題を解くことができるけど。

それさえ知らなければ...
正m角形がひとつの頂点にk枚づつ集まって正n面体をなす
とすると、頂点の数が mn/k, 辺の数が mn/2 になるので、
オイラーの多面体定理より mn/k - mn/2 + n = 2.
n = 12 のとき、代入整理すると (3m - 5)(k - 2) = 10 となる。
この式を満たす整数 m, k は (m,k) = (1,-3), (0,0), (5,3), (2,12).
この中で、図形的に意味を持つものは (m,k) = (5,3) だけである。

さて、正十二面体の
各面が 5角形で、ひとつの頂点に面が 3枚づつ集まる
ことを使うと、正十二面体から角を切り取った立体は、
面の数 = 正十二面体の頂点の数 = 5・12/3 = 20,
辺の数 = 正十二面体の辺の数 = 5・12/2 = 30,
頂点の数 = 正十二面体の面の数 = 12
と解る。
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この回答へのお礼

細かく説明して下さってありがとうございました!

お礼日時:2021/07/30 21:00

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