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f(x)=log(x)について以下のことについて答えてください。
グラフを作成した後、その結果を参考に、x<0のときlog(x)がどのような値になる説明せよ。
(ヒント:オイラーの公式)
だれか説明できる人いますか?

A 回答 (1件)

グラフを参考にすると、


実関数 log(x) は定義域に x < 0 を含まないことが想像できる。
ちゃんと考察すると、 y = log(x) は x = e^y と同値
というのが高校流での log の定義だから、
指数関数の地域を考えれば x > 0 であることが判る。
よって、 x < 0 のとき log(x) はどのような値にもならない。値が存在しない。

(ヒント:オイラーの公式) といことは、複素関数 log(x) を考えているのだろうか?
それだと、話は変わってくる。 複素関数の場合も y = log(x) ⇔ x = e^y
に違いはないが、複素指数関数が周期 2πi を持つ周期関数であるため、
その逆関数というだけでは log は一意に定義されない。
これを解決する方法はいくつかあるが、ここでは
よく使われるもののひとつとして 0 ≦ (log(x))/i < 2π となるような
log(x) の値を選ぶこことする。

すると、 y = u + vi (u,v は実数)として
オイラーの公式より x = e^(u + vi) = (e^u)(cos(v) + i sin(v)).
x < 0 となるのは、 sin(v) = 0, cos(v) < 0 のときだから、 v = π である。
また、|x| = e^u でもある。 これらにより、
log(x) = y = u + vi = log|x| + πi になる。

こんなことは、グラフから読み取ることはできそうにない。
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この回答へのお礼

助かりました

ありがとうございます。とても詳しくわかりやすく書いてくださり、本当に感謝しています。とても悩んでいたので、これで課題がはかどります。

ありがとうございました。

お礼日時:2021/07/30 00:11

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