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緊急 数学の指数関数の問題の解き方について教えてください。以下の問題はどのように考えながら指数関数の数式を立てて解くのでしょうか。

問題:インフルエンザウィルスは16時間後に10000倍に増殖すると言われている。インフルエンザウィルスの数が2倍に増殖するまでにかかる時間を求めなさい。ただし、増加する前のインフルエンザウィルスの数をa、2倍に増殖するまでにかかる時間をxとし、対数logや計算機を用いないこと。

答:1.2時間後

 ウィルスが2倍に増殖するときの数式はa×2^xと置くことまでは予想がついたのですが、その式と「インフルエンザウィルスは16時間後に10000倍に増殖する」という文をどのように用いればよいのかわかりませんでした。

何卒よろしくお願い申し上げます。

A 回答 (7件)

時間tとウイルス数yの関係を


y=a・k^t
とおくと、
10000a=a・k^16 より、
k^16=10000=10^4
k=10^(1/4)

よって、
y=a・10^(t/4)

これより、
2a=a・10^(x/4)
10^(x/4)=2
{10^(x/4)}^10=2^10=1024≒10^3
10^(10x/4)≒10^3
10x/4≒3
x≒1.2
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この回答へのお礼

一番シンプルでわかりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時:2021/08/01 20:07

この問題の問題点は、


電卓を使わずに対数を手計算で近似せよ というならまだ解るが、
対数を使うなという指示は出題が異常でしかない ということに尽きる。
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> この式からbを求め、さらにxを求めようとすると対数logや計算機が必要になります。

問題文には「対数logや計算機を用いないこと」とあるので、「a × b^16 = 10000 a」からxを導く方法は採用できかねます。


君は頭良くないね。

a × b^x = 2 a
a × b^16 = 10000 a

b^x = 2
b^16 = 10000

8192 = 2^13 = (b^x)^13 = b^(13 x)
16384 = 2^14 = b^(14 x)
であるから

8192 < 10000 < 16384

b^(13 x) < b^16 < b^(14 x)
⇒ 13 x < 16 < 14 x

16 / 13 = 1.2307
16 / 14 = 1.1428
これを使うと 1.14 < x < 1.23
という所までは手計算で計算できる。

16384 というのが 10000 に対して大き過ぎるのが計算精度が悪い理由なのであるが、
2^13.5 = 2^13 * 2^0.5 = 2^13 * 1.41421356 = 11585 > 10000

先と同様に考えて
13 x < 16 < 13.5 x
⇒ 1.18 < x < 1.23

ここまでは対数 log を使わなくても電卓が無くても、紙と鉛筆と頭があれば計算できる。
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> どのような基準で 1<T<2 の範囲を狭めるのを停止するのだろうか



テキトーに狭めていって、テキトーなところで止める。
特に基準はない。
No.2 の計算過程を見てくれれば判ると思うが、
10^? が計算しやすいような ? を思いつきで拾っていって
もうそれ以上 ? を細分するのがしんどくなったところで止めている。
丸めて 1.2 になったのはたまたまで、
質問文の答えと桁数が一致したのは偶然。
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ミスプリ:



T時間で 2倍になるとすると、
x 時間後には 2^(x/T) 倍ですよね。
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34T時間で 2倍になるとすると、


x 時間後には 2^(x/T) 倍ですよね。
16時間後に 10000倍になったとすれば
2^(16/T) = 10000.

ここから T を求めるには、常識的には
対数をとって (16/T)(log₁₀ 2) = (log₁₀ 10⁴) から
T = (16 log₁₀ 2)/4
 = 4 log₁₀ 2
ですが、
「対数logや計算機を用いないこと」と書かれている。
おかしな問題だなあ...

計算機を使わず手計算でやるのは良いとして、
対数を使うなというのはちょっと困りものです。
対数を使わなかったフリをして、指数で書いて誤魔化しましょうか。
指数と対数は表裏一体のものだから
どちらで書いても内容は一緒なんですけど、
指数まで禁止されたら、どうにもしようがないですから。

2^(16/T) = 10000 を
10000^T = 2^16 = (2^6)(2^10) = 64・1024 = 65536 と変形して、
T の値を探します。 10000^T が T の増加関数だから...

10000 < 65536 < 10000^2 より 1 < T < 2。

10000^(1 + 1/2) = (10^4)^(3/2) = 10^6 > 65536 より
1 < T < 1 + 1/2 = 1.5。

10000^(1 + 1/4) = (10^4)^(5/4) = 10^5 > 65536 より
1 < T < 1 + 1/4 = 1.25。

10000^(1 + 1/8) = (10^4)^(9/8) = 10^4.5 = 10000√10,
3^3 = 9 < 10 < 16 = 4^2 より 3 < √10 < 4 なので、
10000^(9/8) < 40000 < 65536 より
9/8 = 1.125 < T < 1.25。

10000^(1 + 1/6) = 10^(14/3) = (10^4)³√100,
4^3 = 64 < 100 < 125 = 5^3 より 4 < ³√100 < 5 なので、
10000^(7/6) < 50000 < 65536 より
7/6 = 1.1666… < T < 1.25。

ここで小数第2位を四捨五入すると、 T ≒ 1.2。
ああ、しんどかった。
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この回答へのお礼

詳細にご回答下さりありがとうございます。
 1点質問させていただきたいのですが、1 < T < 2の範囲を狭めていく際に、なぜ「1.1666… < T < 1.25」の時点で最適な範囲だと判別がつくのでしょうか。この問題の答えは「1.2時間後」ではあるのですが、それは問題を解いている最中にはまだわからないはずであるため、どのような基準で1 < T < 2の範囲を狭めるのを停止するのだろうかと思い、質問させていただきました。

お礼日時:2021/07/30 02:48

> a×2^xと置くことまでは予想がついた



ここで既に間違い。
x 時間後に 2 倍になるなら、2 x 時間後には 4 場合になる。3 x 時間後には 8 倍になる。

これは b^x で表現できる。

b^x = 2
b^(2 x) = {b^x}^2 = 2^2 = 4
b^(3 x) = {b^x}^3 = 2^3 = 8

今、初期値が a なので
a × b^x = 2 a
a × b^16 = 10000 a

あとは計算しろ
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。「a × b^16 = 10000 a」を計算しろとのことですが、この式からbを求め、さらにxを求めようとすると対数logや計算機が必要になります。問題文には「対数logや計算機を用いないこと」とあるので、「a × b^16 = 10000 a」からxを導く方法は採用できかねます。
 a×b^16=10000a
 b^16=10^4
 b=(10^4)^1/16
 b=10^4/16
 b=10^1/4
 b=1.778279411038923 (計算ソフトより算出)

 インフルエンザウィルスがx時間後に2倍に増殖する式を表すと
 a×b^2=2a
 この式におけるxを求めると
 b^x=2
 logb(2)=x (A^B=CのときlogA(C)=Bと表記する)
 b=1.778279411038923なので
 log1.778279411038923(2)=x 
 x=1.20412 (表計算ソフトより算出)

 ちなみに、この問題を出した先生方から2を底として指数関数を立てると対数logや計算機を用いないでxを求められるとヒントを頂いたので、a×2^xと予想しました。

お礼日時:2021/07/30 01:26

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