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以下の問題を解いているのですが、うまくいきません。
(1)
q(t)についてq''+2q+8q=4sin2t
として過渡解qt(t)=C1e^(-t)sin(√7t)+C2e^(-t)cos(√7t)
定常回はis(t)=8^(-1/2) sin(2t+π/4)
定常回は電流で求めたので、積分してqtに足すと、積分定数が全部で3つになり、q(0)=0とi(0)=0から初期条件を求めることができません。

この問題の解法とよろしければ答えを教えていただけますと幸いです

「電気回路の問題です」の質問画像
gooドクター

A 回答 (6件)

誤りました。

再訂正します。m(。>__<。)m


(2)
 CE₂=0.125・8=1 , 1/R₂C=1/(4・0.125)=2

①から q(0)=-1/2 だから、つぎの一般解の初期条件に使って
 q=CE₂+Aexp(-t/R₂C)
 -1/2=1+A → A=-3/2

 q=1-(3/2)exp(-2t)
となる。
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この回答へのお礼

お礼が遅れまして申し訳ありません。
お陰様で完璧に理解することができました。
本当にありがとうございました

お礼日時:2021/08/01 18:16

t<0では定常状態になっているということだから


過渡解は無視する。
定常解の電流はベクトルインピーダンスの方法で
i(t)=√2sin(2t+π/4)=sin2t+cos2t になる。
したがってq(t)の定常解はi(t)を積分して
q(t)=(1/2)sin2t-(1/2)cos2t になる。、
するとq(0)=-1/2だから、これを(2)の問題の初期条件とする。
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この回答へのお礼

教えていただき、ありがとうございます。
非常に参考になりました

お礼日時:2021/08/01 18:17

誤りました。

訂正します。

(1)
 (D²+2D+8)q=4sin2t
なので、特殊解は
 q={1/(D²+2D+8)}4exp(j2t)=Im{1/((2j)²+4j+8)}4exp(j2t)
  =Im{1/(1+j)}exp(j2t)=Im(1/2)(1-j)(cos2t+jsin2t)
  =(1/2)(sin2t-cos2t)・・・・・①

(2)
①から q(0)=-1/2 だから、つぎの一般解の初期条件に使って
 q=CE₂+Aexp(-t/R₂C)
 -1/2=2+A → A=-5/2

 q=2-(5/2)exp(-t)
となる。


なお、前にも述べたように、(1)における電流は
 i=q'=cos2t+sin2t → i(0)=1≠0 となり、Lの電流連続を満たせず、
左の回路を(理論的に)切断することはできませんので、杜撰な設問
となっています。
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設定が分かりにくい問題ですがテキトーで。


なお、過渡現象ではLの電流は連続という条件があるが、下記の①から
 i=q'=2sin2t → i(0)=0
となって、t=0でスィッチが切り替え「可能」となっている。

(1)
フェザー法で解くこともできますが、演算子法で特殊解を求めてみます。
というのは、確かめるまでもなく、R₁があるので十分時間がたった後は
過渡解が0であることがわかり、定常解は特殊解である。

回路式は iを時計回りにとって、
  R₁i+Li'=q/C=e , i=q' → R₁q'+Lq''+q/C=e
したがって (LD²+R₁D+1/C)q=e → (D²+2D+4)q=4sin2t
 sin2t → exp(j2t)として解いて、解の虚数部とればよいから、公式
によって
 q={1/(D²+2D+4)}4exp(j2t)={1/((2j)²+4j+4)}4exp(j2t)
  =-jexp(j2t)=-jcos2t+sin2t
虚数部をとって
 q=-cos2t・・・・・・①
が(特殊)解となる。

(2)
回路式は iを反時計回りにとって
 R₂i+q/C=E₂ , i=q' → R₂q'+q/C=E₂
この特殊解は代入すればすぐ CE₂とわかり、斉次式の一般解も変数分離
を使わずともよく知られており q=Aexp(-t/R₂C) とわかる。

したがって、非斉次式の一般解は
 q=CE₂+Aexp(-t/R₂C)
となる。

ここで、
 CE₂=0.125・8=2 , 1/R₂C=1/(4・0.125)=1

また、過渡現象の原理「Cの電荷は連続」から、初期値は、①から
q(0)=-1 なので
 -1=q(0)=CE₂+A → A=-1-CE₂=-1-0.125・8=-1-2=-3

ゆえに
 q=2-3exp(-t)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
定常状態なので過渡解がなくなるということですね

(D²+2D+4)q=4sin2tこちらの部分ですがおそらくD²+2D+8ではないでしょうか、大変恐縮ですが確認の程、よろしくお願いいたします。

重ねて何度も質問してしまい申し訳ありません。
(2)についてですが、なぜS1にスイッチを傾けていた時に充電された電荷は考えなくて良いでのしょうか。考慮するとS2側に傾けた際に交流電源と直流電源が直列に繋がることになり、計算が非常に複雑になってしまいますが...

お礼日時:2021/07/31 00:09

#1です。



>過渡現象の微分方程式は解かなくて良いということでしょうか
解いてもいいですが、解かないでも解けます。

微分方程式を解く場合、初期条件は電圧から求めることになります。
e1(0)=0,e1'(0)=8,e1"(0)=0
かな。

あと、#1でq(0)を求める際にt0を求めてから積分するとしましたが、t=0の時の電圧を使ったほうが楽かな。R1,Lでの電圧降下は簡単に求まりますね。
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この回答へのお礼

回答していただきまして、本当にありがとうございます。
非常に参考にさせていただきました

お礼日時:2021/08/01 18:18

t<0で定常状態となっているのですからq(0)=0やi(0)=0が成り立ってはいません。

t=0の時の値は電圧の波形とインピーダンスで自動的に決まります。

電流i(t)は複素数表示を使えば
i(t)=e1(t)/Z
として計算できます。出てきた結果の実部を取ればよい。
(注意:電圧e1(t)の位相はt=0で0ではありません。)

q(0)はi(t)を積分すればよいが、その前にq(t0)=0となる時刻t0を求めておく必要がある。i(t)が最大もしくは最小となる時刻がt0です。(三角関数が最大・最小になる時刻はわかりますね)
i(t)をt0~0の時間で積分すればq(0)が得られます。
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この回答へのお礼

早速の回答をありがとうございます。
過渡現象の微分方程式は解かなくて良いということでしょうか

お礼日時:2021/07/30 15:51

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