No.4
- 回答日時:
誤りました。
訂正します。(1)
(D²+2D+8)q=4sin2t
なので、特殊解は
q={1/(D²+2D+8)}4exp(j2t)=Im{1/((2j)²+4j+8)}4exp(j2t)
=Im{1/(1+j)}exp(j2t)=Im(1/2)(1-j)(cos2t+jsin2t)
=(1/2)(sin2t-cos2t)・・・・・①
(2)
①から q(0)=-1/2 だから、つぎの一般解の初期条件に使って
q=CE₂+Aexp(-t/R₂C)
-1/2=2+A → A=-5/2
q=2-(5/2)exp(-t)
となる。
なお、前にも述べたように、(1)における電流は
i=q'=cos2t+sin2t → i(0)=1≠0 となり、Lの電流連続を満たせず、
左の回路を(理論的に)切断することはできませんので、杜撰な設問
となっています。
No.3
- 回答日時:
設定が分かりにくい問題ですがテキトーで。
なお、過渡現象ではLの電流は連続という条件があるが、下記の①から
i=q'=2sin2t → i(0)=0
となって、t=0でスィッチが切り替え「可能」となっている。
(1)
フェザー法で解くこともできますが、演算子法で特殊解を求めてみます。
というのは、確かめるまでもなく、R₁があるので十分時間がたった後は
過渡解が0であることがわかり、定常解は特殊解である。
回路式は iを時計回りにとって、
R₁i+Li'=q/C=e , i=q' → R₁q'+Lq''+q/C=e
したがって (LD²+R₁D+1/C)q=e → (D²+2D+4)q=4sin2t
sin2t → exp(j2t)として解いて、解の虚数部とればよいから、公式
によって
q={1/(D²+2D+4)}4exp(j2t)={1/((2j)²+4j+4)}4exp(j2t)
=-jexp(j2t)=-jcos2t+sin2t
虚数部をとって
q=-cos2t・・・・・・①
が(特殊)解となる。
(2)
回路式は iを反時計回りにとって
R₂i+q/C=E₂ , i=q' → R₂q'+q/C=E₂
この特殊解は代入すればすぐ CE₂とわかり、斉次式の一般解も変数分離
を使わずともよく知られており q=Aexp(-t/R₂C) とわかる。
したがって、非斉次式の一般解は
q=CE₂+Aexp(-t/R₂C)
となる。
ここで、
CE₂=0.125・8=2 , 1/R₂C=1/(4・0.125)=1
また、過渡現象の原理「Cの電荷は連続」から、初期値は、①から
q(0)=-1 なので
-1=q(0)=CE₂+A → A=-1-CE₂=-1-0.125・8=-1-2=-3
ゆえに
q=2-3exp(-t)
回答ありがとうございます。
定常状態なので過渡解がなくなるということですね
(D²+2D+4)q=4sin2tこちらの部分ですがおそらくD²+2D+8ではないでしょうか、大変恐縮ですが確認の程、よろしくお願いいたします。
重ねて何度も質問してしまい申し訳ありません。
(2)についてですが、なぜS1にスイッチを傾けていた時に充電された電荷は考えなくて良いでのしょうか。考慮するとS2側に傾けた際に交流電源と直流電源が直列に繋がることになり、計算が非常に複雑になってしまいますが...
No.1
- 回答日時:
t<0で定常状態となっているのですからq(0)=0やi(0)=0が成り立ってはいません。
t=0の時の値は電圧の波形とインピーダンスで自動的に決まります。電流i(t)は複素数表示を使えば
i(t)=e1(t)/Z
として計算できます。出てきた結果の実部を取ればよい。
(注意:電圧e1(t)の位相はt=0で0ではありません。)
q(0)はi(t)を積分すればよいが、その前にq(t0)=0となる時刻t0を求めておく必要がある。i(t)が最大もしくは最小となる時刻がt0です。(三角関数が最大・最小になる時刻はわかりますね)
i(t)をt0~0の時間で積分すればq(0)が得られます。
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