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3x^4+2=0の解を教えてください、

A 回答 (4件)

x²=tと置くと、t²=-2/3を解く。



t=±(√(2/3))i
後は複素平面で考える
結構面倒なのでt=±iについて記載

t=iの時
x²=iだから、(a+bi)²=iとなる様なa,bを求める
(a+bi)²を展開してiと比べる
a²-b²=0 ①
2ab=1 ②

①よりa=bの場合を②に代入すると2a²=1
a=±1/√2 ∴b=±1/√2
x=±(1+i)/√2

①よりa=-bの場合を②に代入すると-2a²=1
aは実数部だから、ここからは解は出ない

t=-iの時
x²=-iだから、(a+bi)²=-iとなる様なa,bを求める
(a+bi)²を展開して-iと比べる
a²-b²=0 ①
2ab=-1 ②

①よりa=bの場合を②に代入すると2a²=1
a=±1/√2 ∴b=-1/√2と+1/√2
x=±(1-i)/√2

①よりa=-bの場合を②に代入すると-2a²=1
aは実数部だから、ここからは解は出ない

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最終解答x=±(1+i)/√2、±(1-i)/√2

以上を参考にしてt=±(√(2/3))iを解く。
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実数解はない



x=r(cosθ+isinθ)とおけば
x^4=-2/3
より
r⁴(cosθ+jsinθ)⁴=2/3(cosπ+isinπ)
ゆえにr⁴=2/3
⇔r=(2/3)^(1/4)
4θ=π+2nπ
θ=π/4+nπ/2
θ=π/4,3π/4,5π/4,7π/4
∴ x=r(cosθ+isinθ)=(2/3)^(1/4)(1/√2+i1/√2)
など4個
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-1の解乗根はiですがiの解乗根て、ありました?


わたしは知らない!
(だったらAするな!!!)
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普通に移項してルートを被せて行くだけ。



x^4=a

とすると

x^2=±√a

x^2=√a

の方の解はそのまま

x=±√(√a)=±a^(1/4)

x^2=-√a

の方の解は

x=±√(√a)i=±{a^(1/4)}i
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