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4次元は縦+横+高さ+時間と言われていますが、さらにその次の5次元はどのようなものなのでしょうか?私には想像することすらできません。もし分かるようでしたら、6次元、7次元についても教えてください。

A 回答 (6件)

数学のカテゴリーなので、数学的な考え方であれば、#4さんの述べておられる通りだと思います。



どうも4次元というと「空間の3次元+時間軸」の時空4次元を考えて、目眩く想像の世界に入ってしまう方が多いようですが、
たとえば、ベクトルの世界では、4つの成分があれば4次元ベクトルになります。x=(a,b,c,d)、これだけで表現できてしまいます(乱暴な表現ですが)。
5次元も()内の成分が1つ増えるだけです。極端にいえば無限次元も表現できます。

想像力は必要ありません。逆に視覚的イメージにこだわると本当に目が眩んでしまいます。

これらのURLが参考になるかもしれません。
http://www.m.is.sci.toho-u.ac.jp/message/dimensi …
http://www.hokuriku.ne.jp/fukiyo/math-obe/4zigen …
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重力を幾何学化する一般相対性理論ができた後、電磁相互作用も幾何学化して重力と統一することが望ましいと考えられるようになりました。

このような「統一場理論」の一つとして提唱されたのがカルツァ=クラインの5次元理論です。カルツァは5次元の計量hμνを電磁ポテンシャルAμと4次元計量gμνを使って次の様に定義しました。
 h5ν = g5ν + κAμ
 hμν = gμν + κ^2AμAν
つまり5番目の次元は電磁相互作用です(重力ではありません)。クラインはカルツァの考えを進め、5番目の次元は量子論的に巻上がり、プランク長の半径にコンパクト化されているために観測されないとしました。こうして重力gμνと電磁相互作用を統一する理論ができましたが、Aμが電磁相互作用と見なせるためには荷電粒子場と正しい形で結合しなければなりません。これはスカラー場の場合はうまく行きますが、ベクトル場の場合はうまく行きません。また新しく予言されるような結果がなく、積極的には評価しにくいことから忘れ去られて行きました。しかしこの理論は後に復活します。話は一気に現代に飛び、時空の次元をDとすると、弦理論の共形変換の生成子はボゾン的弦の場よりアノーマリーの項にDの寄与があり、ゴーストによる寄与は-26となります。そのためアノーマリーが消えるためは次元が26次元である必要があるとかっては考えられていました。しかし超共形場の理論ではフェルミオンの場よりアノーマリーに(1/2)Dの寄与があり、βγゴーストより+11の寄与があります。これらをまとめると全体のアノーマリーは
 D+(1/2)D-26+11 = (3/2)(D-10)
となり、アノーマリーが消えるためは次元が10次元である必要があると考えられています。ここでカルツァ=クライン理論の復活となるのです。弦理論で次元が10次元から実際に観測される4次元に落とすためにカルツァ=クラインの理論のうち次元のコンパクト化の考えが使われることがあります。しかしカルツァのときからあった、ある次元がなぜコンパクト化されるのかという疑問は解決されていません。
 なお、数学的には次元が変わると座標の数が変わるだけでなく、トポロジー的に大変な違いが出てきます。例えば少し考えただけでもn次元球面SnのうちS0は連結でないがS1は連結、S1は単連結でないがS2は単連結という違いがありますが、ミルナーにより7次元球面には異種微分構造があることが示されています。ユークリッド空間R^nについては4次元以外は微分構造はただ一つです。4次元の場合は難しいのですが、フリードマンは単連結4次元位相多様体の分類定理を完成させ、ドナルドソンはYang-Mills接続のゲージ理論を用いて4次元微分位相幾何学の基本定理を得ました。この二つの大定理を用いると、R^4は微分構造が一つだけでないことが分かり、実際非可算無限個あることが示されています。
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少々誤解があるようですが。


>4次元は縦+横+高さ+時間と言われていますが

実は逆で、アインシュタインが宇宙の構造を考えたとき、この4つを変数とする方程式で考えた、ということです。つまり4つの変数があること、4変数の幾何学であらわせるから4次元なんです。
私たちの視覚は通常図形は2次元ないし(擬似)3次元でしか見えませんから、想像しにくいのですが要は独立した変数の数、とお考えください。

余談ですが1.34次元だの無限次元だのといったものもあります。(フラクタル、とかヒルベルト空間論などで)
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きっと、直感的な5つ組み、みたいなことを考えているんじゃないかと思います。


そういう意味では、物理学の最先端のひも理論で26次元を使って理論を構築しているものがあります。
でも、そこの次元というのは直感的に○○と表現できるようなものではないです。

3Dのゲームとか(映画とか)は好きですか?
実は、3Dの絵を描くときに内部では4次元座標を使っています。(時間を加えたらそういう意味では5次元になるね。)

4次元というと、ドラえもんのポケットのようなものをイメージするかもしれませんが、実は色々なところに使われています。数学が素晴らしいのは一つの道具が思ってもみなかったところで使えるところです。
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昔、ものすごい学者がいました


カルツァ・クラインといいます
この人、五次元空間を考えました
いや、時間もその内の一つに含まれているから
五次元時空とでも言っておきましょうか
でも、よく分からなかったけど、その理論は上手くいかなかったようです
ちなみに、五次元の場合は、もう一つは重力だそうです
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ここでダラダラと書いてもわかりにくいだけなので参考URLを見て下さい。

質問に答えているかは分かりませんが。参考になれば幸いです。

参考URL:http://www4.ocn.ne.jp/~yadaya/world.html
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