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pを奇素数とする。
1以上p-2以下のいかなる自然数kに対しても
1^k, 2^k, ……, (p-1)^k
をpで割った余りがすべて等しくなることはない
ことの高校数学の範囲での証明を教えて下さい。

A 回答 (7件)

(定理)法pが素数のとき,


n次の合同式
f(x)=0(mod p)…(1)

nよりも多くの解を持たない
解の数はpを法として,互いに不合同なものを数えていう
(証)
n=1の時
f(x)=(a0)x+(a1)=0(mod p),(a0,p)=1
が2つの解x1,x2を持つと仮定する
(a0)x1+(a1)=0(mod p)
(a0)x2+(a1)=0(mod p)
(a0)(x1-x2)=0(mod p)
↓a0≠0(mod p)だから
x1-x2=0(mod p)
x1=x2(mod p)だから2つの解は合同だから1つの解となるから
∴n=1の時
1つより多くの解を持たない

定理がn-1次の多項式に関して正しいと仮定する

x=a(modp)
を合同式(1)の1つの解とすると
f(a)=0(mod p)

f(x)=(x-a)g(x)+f(a)
g(x)はxのn-1次の整係数多項式
となるg(x)がある

(x-a)g(x)=f(x)-f(a)=0(mod p)
(x-a)g(x)=0(mod p)

pが素数だから
x=a(mod p).または.g(x)=0(mod p)

x=a(mod p)以外の(1)の解はn-1次の合同式
g(x)=0(mod p)
の解でなければならない

定理がn-1次の多項式に関して正しいから
n次の多項式に関しても正しい
--------------------------------------

pを奇素数とする
1≦k≦p-2
となる自然数kに対して
k次の合同式
f(x)=x^k-1=0(mod p)
は(定理から)
k個よりも多くの解を持たないから
k≦p-2<p-1
p-1個の互いに不合同な解1,2,…,p-1を持たないから

1^k=1(modp)
2^k=1(modp)

(p-1)^k=1(modp)
となることはないから

1^k, 2^k, ……, (p-1)^k
をpで割った余りがすべて等しくなることはない
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この回答へのお礼

やってみます

またこんな大袈裟なもの持ち出して…。
もっと高校生が普通に示せるような方法はないのですか?

お礼日時:2021/08/02 22:05

pを奇素数とする


フェルマーの小定理から
1≦a≦p-1となる自然数aに対して
a^(p-1)=1(mod p)
である
この
aの内
1≦k<p-1となるすべての自然数kに対して
a^k≠1(mod p)
となる
a
が存在する時
a
をpを法としての原始根という

原始根が存在すれば

1^k=1(modp)
2^k=1(modp)

(p-1)^k=1(modp)
となる
最小の自然数kは
k=p-1
となるので

原始根が存在する事をいえばよいのです
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この回答へのお礼

No

原始根は使わないで下さい。
高校数学とは思えませんし、そもそもこれは原始根を使えない問題に出てくる命題なのです。

もう少しマシな方法があればまた回答して下さい。

お礼日時:2021/08/02 10:34

pを奇素数とする


フェルマーの小定理から
1≦a≦p-1となる自然数aに対して
a^(p-1)=1(mod p)
だから

1^k=1(modp)
2^k=1(modp)

(p-1)^k=1(modp)
となる
最小の自然数k≦p-1がある
このkに対して
k=p-1
を示せばよい
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この回答へのお礼

プンプン

それが示せるなら、質問はしていない。

お礼日時:2021/08/02 07:24

どこまでが「高校数学の範囲」なんだろうか....


http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node35.h …
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この回答へのお礼

ムッ

それは高校数学ではない。
ふざけるのもいい加減にしなさい。

お礼日時:2021/08/02 05:35

> のあとはどうするのですか?



偉そうに言っといて、そんなんも分からんのかい!!
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この回答へのお礼

うーん・・・

分かりません。

さ、早く証明の続きを教えて下さい。

お礼日時:2021/08/01 19:22

> (5n-4)^2≡1 (mod 5)



計算ミスだ。細かい事は気にするな。
重箱の隅を突くより、数学の問題を解く方針すら考えられない事を恥じろ
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この回答へのお礼

うーん・・・

こんな初歩的なミスをする回答者なんてとても信用できないんですけど…。

ところで、
1^k mod p = (p - 1)^k mod p
2^k mod p = (p - 2)^k mod p
3^k mod p = (p - 3)^k mod p
,
,
(p-3)^k mod p = 3^k mod p
(p-2)^k mod p = 2^k mod p
(p-1)^k mod p = 1^k mod p
のあとはどうするのですか?

お礼日時:2021/08/01 19:11

modulo の冪乗がどういう計算になっているか考えてみたら良い。




例えば 5 n - 4 という数があるとする。
当然ながら (5n - 4) mod 5 = 1
(5 n - 4)^2 mod 5 = { (5 n)^2 - 2 (5 n) - 4^2 } mod 5 = - 4^2 mod 5 = 4

さてここで 1, 2, 3,,, p - 1 という数列を p - (p - 1), p - (p - 2),,, p - (1) と置換するならば
1^k mod p = (p - 1)^k mod p
2^k mod p = (p - 2)^k mod p
3^k mod p = (p - 3)^k mod p
,
,
(p-3)^k mod p = 3^k mod p
(p-2)^k mod p = 2^k mod p
(p-1)^k mod p = 1^k mod p
となる。

こんだけヒント書いたら後は自分で解けるか?
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この回答へのお礼

どう思う?

あの、頭大丈夫ですか…?

(5n-4)^2≡1 (mod 5)
なんですけど…。

お礼日時:2021/08/01 18:34

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