諸費電力が最大になる条件を求める問題です

(2)の解き方について質問です。
Rlより左側をテブナンの等価回路で電源E₀とZ₀とおいて、Z₀の虚部をゼロにするように求めようとしたのですが、そうすると(a)~(c)までの答えがすべて同じになってしまいます。
どのようにして考えるのが正解なのでしょうか

テブナンの等価回路は
E₀=(JR₀jX₁)/(R₀+jX₁)　Z₀=jX₂+(jX₁R₀)/(R₀+jX₁)
自分で計算するとこのようになりました。

ここも誤りがある場合は教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/03 13:20

電力Pは変数X₁,X₂の関数P(X₁,X₂)である。

また、変数変換
　R=R(X₁,X₂) , X=X(X₁,X₂)
によって P=P(R,X)とあらわされる。
Pの最大電力は変数R,Xの関数と見たときは
　∂P/∂R=∂P/∂X=0・・・・①
である。

このとき、連鎖律により①を使うと
　∂P/∂X₁=(∂P/∂R)(∂R/∂X₁)+(∂P/∂X)(∂X/∂X₁)=0
　∂P/∂X₂=(∂P/∂R)(∂R/∂X₂)+(∂P/∂X)(∂X/∂X₂)=0
だから、
　∂P/∂X₁=∂P/∂X₂=0・・・・②
を満たす。

つまり、①の条件（変数 R,X）でPの最大値を求めると自動的に変数
X₁,X₂でのPの最大値の条件になっている。

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい大変申し訳ありません。
本当に勉強になりました。
丁寧に教えて頂き、誠にありがとうございました

お礼日時：2021/08/05 21:17

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/03 06:52

意味が分かりません。

どのように考えようと、求めるものがRLの電力であればよい。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/02 07:38

訂正

(b) は
→ -X₁²X₂-R₀²(X₁+X₂)=0 → X₂=-R₀²X₁/(X₁²-R₀²)
でした。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/02 07:34

等価回路は合っています。

ただ、今回は電源のインピーダンスは
　Z₀=jR₀X₁/(R₀＋jX₁)=R₀X₁²/(R₀²+X₁²)+jR₀²X₁/(R₀²+X₁²)
負荷のインピーダンスを
　Z=RL+jX₂
と考えたほうが簡単になります。

なお
　I=jR₀X₁J/{R₀RL-X₁X₂+j((R₀+RL)X₁+R₀X₂)}
　P=RL|I|²=RL(R₀X₁)²J²/{(R₀RL-X₁X₂)²+((R₀+RL)X₁+R₀X₂)²}

(a)
内部インピーダンス Z=R₀+jX₀の電源に Z=R+jXの負荷を接続したとき、
Rの最大消費電力は R=R₀かつX=-X₀とわかっていますので、今回は
　RL=R₀X₁²/(R₀²+X₁²)・・・・・①
　X₂=-R₀²X₁/(R₀²+X₁²)・・・・・②
となる。

①②から
　X₁²=RLR₀²/(R₀-RL) → X₁=±R₀√{RL/(R₀-RL)}
　X₂=-R₀RL/X₁=∓√{RL(R₀-RL)}　（複合同順）

(b)
PをX₂で微分したものが０となる条件を求めればよい。すると微分の分子
だけ計算すればよいから
　-{ 2(R₀RL-X₁X₂)(-X₁)+2((R₀+RL)X₁+R₀X₂)R₀ }=0
→ X₁²X₂-R₀²(X₁+X₂)=0 → X₂=R₀²X₁/(X₁²-R₀²)

(c)
PをX₁で微分したものが０となる条件を求めればよい。同様に微分の分子
だけ計算すればよいから
　2X₁{ (R₀RL-X₁X₂)²+((R₀+RL)X₁+R₀X₂)² }
-X₁²{ 2(R₀RL-X₁X₂)(-X₂)+2((R₀+RL)X₁+R₀X₂)(R₀+RL) }=0
→ X₁[ { (R₀RL-X₁X₂)²+((R₀+RL)X₁+R₀X₂)² }
+{ (R₀RL-X₁X₂)X₁X₂-((R₀+RL)X₁+R₀X₂)(R₀+RL)X₁ } ]=0

→ X₁[ (R₀RL-X₁X₂)(R₀RL)+((R₀+RL)X₁+R₀X₂)(R₀X₂) ]=0
→ X₁[ (R₀RL)²+R₀(X₁+X₂)(R₀X₂) ]=0
したがって、
　X₁=0 または　(R₀RL)²+R₀(X₁+X₂)(R₀X₂)=0
→ X₁=0 または　X₁=-{(RL²/X₂)+X₂}
このうち、 X₁=0 は極小なので（代入すれば P=0 だから）
　X₁=-{(RL²/X₂)+X₂}
となる。

なお、(b)(c)の極大の検討は面倒なので略。グラフで簡便。

この回答へのお礼

複雑な計算にも関わらず丁寧に解説して頂きありあとうございます。
一つ疑問に思ったのですが負荷インピーダンスをjX2を含めて考えても(2)の(a)で最大電力を求めることができるのは何故でしょうか

お礼日時：2021/08/03 02:09