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フェルマーの小定理より、a^5≡a(mod5)なんですか?

A 回答 (4件)

フェルマーの小定理使わなくても簡単


a≡0,1,2,3,4(mod5)のいずれかだから

a≡0を5乗するとa⁵≡0(mod 5) 0≡aを代入するとa⁵≡a(mod 5)

a≡1を4乗するとa⁴≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

a≡2を4乗するとa⁴≡16≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

a≡3を4乗するとa⁴≡81≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

a≡4を4乗するとa⁴≡256≡1(mod 5) 両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/08/04 07:42

フェルマーの定理を使わなくっても, 任意の整数 a に対して


a^5-a は 5の倍数
って証明できるからなぁ.

むしろ
素数 p と任意の整数 a に対して a^p ≡ a (mod p)
からフェルマーの定理を証明する, って流れもあるので, それを念頭におくなら「フェルマーの定理より」と書くのは危険.
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a が 5 の倍数かどうかで、場合分けが必要。



a が 5 の倍数でなければ、素数 5 と互いに素だから
フェルマーの小定理より、a^4≡1 (mod5).
両辺に a を掛けて、a^5≡a (mod5).

a が 5 の倍数であれば、a^5 も 5 の倍数だから
a^5≡0≡a (mod5).

いづれにせよ成立する。
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半分okだよ。



フェルマーの小定理:
pが素数でaはpの倍数で無い場合にはaᴾ⁻¹1≡1(mod p)

p=5は素数だから当てはめると
a⁴≡1(mod 5)

両辺にaを掛けるとa⁵≡a(mod 5)

aは5の倍数では無い、という条件が要るよ。
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