数Ⅰ x.yの関数P=４x²−４xy+２y²+２y+４x+７の最小値を求めてください。 解説をお願い

数Ⅰ

x.yの関数P=４x²−４xy+２y²+２y+４x+７の最小値を求めてください。

解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/04 22:17

平方完成しましょう。

４x² - ４xy + ２y² + ２y + ４x + ７
= { ４x² - ４xy + ２y² } + ２y + ４x + ７
= { (2x - y)² + y² } + { 2y + 4x } + 7
= { (2x - y)² + y² } + { 2(2x - y) + 4y } + 7
= { (2x - y)² + 2(2x - y) } + { y² + 4y } + 7
= { (2x - y + 1)² - 1 } + { (y + 2)² - 4 } + 7
= (2x - y + 1)² + (y + 2)² + 2.
最小値は、
2x - y + 1 = y + 2 = 0 のとき、 2。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/05 10:38

他と同じでは面白くないので

偏微分で(^^;

∂P/∂x = 8x - 4y + 4
∂P/∂y = -4x + 4y + 2
停留点は
x = -3/2, y = -2

ヘッセ行列は
8 -4
-4 4
で常に正定なので、唯一の停留点は極小かつ最小

P ＝ 4・(-3/2)^2 - 4・(-3/2)・(-2) + 2・(-2)^2 + 2・(-2)+ 4・(-3/2)+7
=9 - 12 + 8 - 4 - 6 + 7 = 2

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/08/05 10:11

1文字について注意して平方完成します。

まずはxについて平方完成させてみましょう。

P=4x^2+(-4y+4)x+2y^2+2y+7
=4{x^2+(-y+1)x}+2y^2+2y+7
=4[{x+(-y+1)/2}^2-(-y+1)^2/4]+2y^2+2y+7
=4{x+(-y+1)/2}^2-(-y+1)^2+2y^2+2y+7
=4{x+(-y+1)/2}^2+y^2+4y+6

後ろにあるyだけの式を平方完成させると
P=4{x+(-y+1)/2}^2+(y+2)^2+2

この式にある二つの平方式は同時に0にすることができる(このことは示しておかないといけません)ことから最小値は2