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青チャートの間違いを見つけました 下線部です 説明のため下線部の式の左辺の後ろ2つは省いて説明します 下線部で足し算をしているのはそれぞれの事象が排反だからです 排反の事象の確率は加法定理 P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)、P(A∩B)=0より求められます ここで加法定理の証明を考えます n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) 両辺を「全体集合の要素の数」Nで割ります すると確率の加法定理が導けます 「Nで割る」この操作により必然的にn(A),n(B)は同じ数で割られる、つまり約分する前の分母が同じということになります しかし画像ではどうでしょう。(1/2)^6これはサイコロを振って奇数の目が6回出る確率、つまり「6回連続で奇数の目がでる場合の数/サイコロを6回振った時の出る目の場合の数」です そして隣の5C1(1/2)(1/2)^4これはサイコロを5回振って偶数の目がちょうど一回出る確率、つまり「(1回目に偶数が出て残りが奇数が出る場合の数+2回目に偶数がでて残りが奇数が出る場合の数・・・・・+5回目に偶数がでて残りが奇数の場合の数)/サイコロを5回振った時の出る目の場合の数」です これでわかるとおり、足している確率同士の分母が異なります。つまり「確率の加法定理」が満たすべき性質を満たしていないのです その性質を満たしていないという事は、この足し算は「確率の加法定理」に則ったものではない、つまりこの足し算はただの数値どうしの足し算でしかないです 実際、僕は青チャートが間違っていない事は分かっています。ただどうしてもこの確率どうしの足し算が納得いきません。解説お願いします

「青チャートの間違いを見つけました 下線部」の質問画像

A 回答 (4件)

例えば



さいころを振り,偶数の目が出たとき、上がりとする
奇数の目が出た時、もう1回だけさいころを振るとする
上がる確率を求めよ

という問題の場合

(1)最初にさいころを振り,偶数の目が出て、上がる場合確率1/2
(2)最初にさいころを振り,奇数の目が出て,2回目に偶数が出る場合確率1/4
(3)最初にさいころを振り,奇数の目が出て,2回目に奇数が出る場合確率1/4

の3通りしかないけれどもその3通りの確率は等しくありません

(偶数で上がる確率)=1/2+1/4

(1/2)と(1/4)
足している確率同士の分母が異なるけれども間違いではありません

確率の加法定理

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)



P(A)
P(B)
P(A∩B)

計算根拠が正しければ
分母が同じ必要は全くないのです
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n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)



両辺を「全体集合の要素の数」Nで割る

と書いてありますが

1要素当たりの確率が等しい場合に
両辺を「全体集合の要素の数」Nで割ることができるのです

1要素当たりの確率が等しくない場合はできないのです

両辺を「全体集合の要素の数」Nで割れないのだから

確率の加法定理を導けません

分母が同じというのは
「確率の加法定理」が満たすべき性質ではありません

確率の加法定理

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)



P(A)
P(B)
P(A∩B)

計算根拠が正しければ
分母が同じ必要はありません

サイコロを6回振った時の出る目の場合

奇,奇,奇,奇,偶,奇
奇,奇,奇,奇,偶,偶
のように
4回奇が出て5回目に偶が出る確率は(1/2^5)*(2/2)=1/2^5

4回奇が出て5回目に偶が出る場合上がりになるので
6回目は振らないのです

6回目振らない場合でも
4回奇が出て5回目に偶が出る場合上がりになる確率は
1/2^5
と6回目振った時と変わりません
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n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)



両辺を「全体集合の要素の数」Nで割る

と書いてありますが

1要素当たりの確率が等しい場合に
両辺を「全体集合の要素の数」Nで割ることができるのです

1要素当たりの確率が等しくない場合はできないのです

サイコロを6回振った時の出る目の場合の数を分母とすると
次の4つの場合の確率はどれも等しいけれども

奇,奇,奇,奇,奇,奇
奇,奇,奇,奇,奇,偶

奇,奇,奇,奇,偶,奇
奇,奇,奇,奇,偶,偶

4回奇が出て5回目に偶が出る場合上がりになるので
6回目は振らないのです
だから

サイコロを5回振った時の出る目の場合の数を分母とする
奇,奇,奇,奇,偶
となる確率は
奇,奇,奇,奇,奇,奇
となる確率の2倍になるので等しくありません
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ダミーで「6回目」をふってみたら?

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