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数学の問題です。
数列【an】に対して、bn=1/nΣn/k=1 ak とおく。
【bn】が等差数列の時、【an】が等差数列であることを示せ。

という問題で、
まずは【bn】が等差数列であるから、
bn=pn+q (p.qは定数)
とおき、bn=1/nΣn/k=1 akより、
  Σn/k=1 ak =n(pn+q).....①
n=1のとき、a1=p+q.....(⭐︎)

ここからが質問なのですが、参考書では
n≧2のとき、①のnをn−1に置き換える
とありましたが、私は、n +1に置き換えました。
すると、参考書のやり方だと、
an=2pn−p+q となり、n=1の時も(⭐︎)と成立したのですが、
私のやり方では
an=2pn+p+q となり、n=1の時、(⭐︎)と成立しませんでした。
このやり方は間違っているのでしょうか?私の計算ミスでしょうか?
詳しい方お願いします。

A 回答 (2件)

①のnをn+1に置き換えるやり方だと、


a_n=2pn + p + q
ではなく、
a_(n+1)=2pn + p + q
となります。

この式で、nをn-1に置き換えると、
a_(n-1+1)=2p(n-1) + p + q
a_n=2pn-p + q
となり、参考書のやり方と同じ結果になります。

Σ[k:1→n] a_k=n(pn+q)…①

①のnをn-1に置き換えると、
Σ[k:1→(n-1)] a_k=(n-1){p(n-1)+q}…②
①-②
a_n=2pn-p + q

①のnをn+1に置き換えると、
Σ[k:1→(n+1)] a_k=(n+1){p(n+1)+q}…③
③-①
a_(n+1)=2pn + p + q
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この回答へのお礼

なるほど!私の計算では、
S_(n+1)−S_(n)=a_(n+1)
をしていたってことですね!ありがとうございました!

お礼日時:2021/08/10 12:22

n+1に置き換えた場合は



an=2pn+p+qとなりません

a(n+1)=2pn+p+q

となります
なのでa(1)を求めることはできません

b(n)=(1/n)Σ_{k=1~n}a(k)…①
b(n)=pn+q
b(1)=a(1)=p+q

①のnをn+1に置き換えると
b(n+1)=1/(n+1)Σ_{k=1~n+1}a(k)
b(n+1)=p(n+1)+q

nb(n)=Σ_{k=1~n}a(k)

(n+1)b(n+1)
=Σ_{k=1~n+1}a(k)
=Σ_{k=1~n}a(k)+a(n+1)
=nb(n)+a(n+1)
だから

a(n+1)
=(n+1)b(n+1)-nb(n)
=(n+1)(p(n+1)+q)-n(pn+q)
=(n+1)(pn+p+q)-pn^2-nq
=pn^2+2np+nq+p+q-pn^2-nq
=(n+1)p(n+1)+q(n+1)-pn^2-qn
=p(n^2+2n+1)+qn+q-pn^2-qn
=pn^2+2np+p+qn+q-pn^2-qn
=2pn+p+q
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