同時確率の問題です

同時確率の問題です。ご回答をよろしくお願いいたします。

確率変数 X,Yの同時確率密度が
fXY(x,y) = 4xy 0<x<1, 0<y<1
= 0 その他
のとき
(a) P(X<Y)を求めなさい
(b) X とYが独立であることを示しなさい

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/10 00:41

(a) X<Y なので、その確率は

　P(X<Y) ＝ ∫[0→1]{∫[0→y]fXY(x, y)dx}dy
= ∫[0→1]{∫[0→y](4xy)dx}dy
= ∫[0→1]{[2x^2*y][0→y]}dy
= ∫[0→1]{2y^3}dy
= [(1/2)y^4][0→1]
= 1/2

(b) X の周辺確率密度は
　fX(x) = ∫[0→1]{4xy}dy = [2xy^2][0→1] = 2x
Y の周辺確率密度は
　fY(y) = ∫[0→1]{4xy}dx = [2x^2*y][0→1] = 2y

従って
　fXY(x, y) = fX(x) * fY(y)
なので、X と Y は独立である。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
X<Y なので、その確率はP(X<Y) ＝ ∫[0→1]{∫[0→y]fXY(x, y)dx}dyのところはまだ理解できませんので、ご迷惑でないなら少し説明していただけませんか？
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2021/08/10 10:48

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/08/11 10:36

#3です。

ちょっと、言葉足らずでした。「」内を追加します。

Xは0→１へ増加しながら、Yも0→１へ増加させて積分すれば良いのです。

↓

Xは0→１へ増加しながら、「Yについては、もしX＝0.5のときは、Y＝Xの線まで、つまりY＝0.5までの範囲で止めないといけないから、∫[0→1]{∫[0→y]という条件で、」Yも0→１へ増加させて積分すれば良いのです。

この回答へのお礼

とてもわかりやすい説明でありがとうございました。図がありますとわかりやすいです。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/11 22:28

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/08/10 16:13

#2さんのご回答を図で説明します。

（口を挟んですみません）

今、２次元確率密度は下図のようになっています。

この山を手前から奥に向かうY＝Xの45度方向に分割して、X軸側に近い方の体積を求めなさい、というのと同じです。

Xは0→１へ増加しながら、Yも0→１へ増加させて積分すれば良いのです。


ついでに、(b)では、X成分の確率、Y成分の確率という「それぞれの軸に射影した周辺確率」というものを計算されていますが、それは、X軸成分であれば、例えば、X＝０～0.01 という区間にある全ての山の高さを足し合わせたものになります。

ですから、X軸成分について見るときは、それに直交するY方向に積分しているのです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/10 11:24

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞X<Y なので、その確率はP(X<Y) ＝ ∫[0→1]{∫[0→y]fXY(x, y)dx}dyのところはまだ理解できませんので、

(a) で X<Y ということは、確率密度関数が
　fXY(x,y) = 4xy、 0<x<y<1
ということですよね？

これを x, y の定義域全体で積分すれば、その条件での「全確率」になります。
順番として、まず「y について x→1 で積分」して、その後で「x について 0→1 で積分」しても同じです。

この回答へのお礼

わかりやすい説明でありがとうございました。理解できましたのでベストアンサーを選ばせていただきます。

お礼日時：2021/08/11 22:27