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数学の質問です

(2)で、答えがk≦-1なんですけど、解を持たないなら判別式DはD<0じゃないんですか??
重解をもつD=0もいれたら解がうまれてしまうことはないのでしょうか……?

「数学の質問です (2)で、答えがk≦-1」の質問画像

A 回答 (7件)

恐らくですが「判別式Dが負なら実数解を持たない」と言うのをお経のように覚え込んだだけなのでは? 判別式が負なら実数解云々は「二次方程式の解」の話であって、この問題は二次不等式なのでそのままでは成り立ちません。

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k = -1 のとき、(2) の不等式は -x²+2x-1>0 ですね。


整理して、(x-1)²<0. このとき、
不等号をイコールで置き換えた (x-1)²=0 は解を持つけれど、
(x-1)²<0 には解はうまれないでしょう?
もとの不等式の不等号が ≧ じゃなく > であること
が効いてますね。
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判別式D



方程式kx^2+(k+3)x+k=0が解を持つかどうかの判別式であって

不等式kx^2+(k+3)x+k>0が解を持つかの判別式ではありません

方程式kx^2+(k+3)x+k=0が解を持たないなら判別式DはD<0
だけれども

D=0の時
方程式kx^2+(k+3)x+k=0が重解を持つけれども
その重解は
不等式kx^2+(k+3)x+k>0の解ではありません

問題は
不等式
kx^2+(k+3)x+k>0が解を持たない

場合のkの値の範囲を求めよです
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kx²+(k+3)x+k>0 が解を持たないと云う事は、


kx²+(k+3)x+k<0 か kx²+(k+3)x+k=0 と云う事です。
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「与不等式(>0)が解をもたない」ということは


「与不等式(>0)を満たす x は存在しない」ということであって
「不等式(≦0)を満たす x 」は存在していいんですよ。

つまり
 y = kx^2 + (k + 3)x + k = k[x + (k + 3)/(2k)]^2 - (k + 3)^2 /(4k) + k
 = k[x + (k + 3)/(2k)]^2 + (3k^2 - 6k - 9)/(4k)
 = k[x + (k + 3)/(2k)]^2 + 3(k^2 - 2k - 2)/(4k)
が k<0 では「上に凸」の放物線になるので、頂点の y 座標が 
 3(k^2 - 2k - 3)/(4k) ≦ 0   ①
であれば
 y > 0
を満たす x はないことになる。

頂点が x 軸上にあっても、y>0 となる x はありませんから。

①は k<0 より
 k^2 - 2k - 3 ≧ 0
→ (k - 3)(k + 1) ≧ 0
k - 3 < 0 なので
 k + 1 ≦ 0
よって
 k ≦ -1
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解が無いってことは


左辺≦0
ってことだよね?
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実際に D=0 のときに「解がうまれてしまう」かどうか確認すればいいじゃないか.

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