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関数gが実連続関数でlim_{x->∞} g(x)=Bだとする。このとき、
lim_{b->∞}1/b ∫(0からb) g(x)dx
を求めて下さい。

A 回答 (1件)

lim_{x->∞} g(x)=Bは


 ∀ε>0,∃M>0; x>M → |g(x)-B|<ε・・・・①
である。

 |(1/b){∫[0→b] g(x)dx} - B|
  =|(1/b){∫[0→b] g(x)dx} - (1/b)∫[0→b] B dx |
  =| (1/b)∫[0→b] (g(x)-B)dx |
  ≦(1/b)∫[0→b] |g(x)-B|dx

ここで、①において、b=Mとすれば、上式の続きは
  <(1/b)∫[0→b] εdx=ε
となる。つまり

 ∀ε>0,①でb=Mとすると
  ∃b>0; x>b → |(1/b){∫[0→b] g(x)dx} - B|<ε
となる。これは
 lim_{b->∞}1/b ∫(0からb) g(x)dx → B
を意味する。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時:2021/08/10 18:45

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