sin(θ) - sin(θ - 2π/3) = a sin(θ - b)

sin(θ) - sin(θ - 2π/3) は
a sin(θ - b) に変形できますか。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/12 20:49

とりあえず加法定理で展開して

sin(θ) - sin(θ - 2π/3)
= sin(θ) - sin(θ)cos(2π/3) + cos(θ)sin(2π/3)
= sin(θ) - sin(θ)(-1/2) + cos(θ)[(√3)/2]
= (3/2)sin(θ) + [(√3)/2]cos(θ)　　　　　　①

と書けます。

一般に、
　AsinX + BcosX
の三角関数の合成は
　√(A^2 + B^2)
を作って、
　AsinX + BcosX
= [√(A^2 + B^2)]{[A/√(A^2 + B^2)]sinX + [B/√(A^2 + B^2)]cosX}
という形にし、
　cosΦ = A/√(A^2 + B^2)
　sinΦ = B/√(A^2 + B^2)
となる Φ を使って
　AsinX + BcosX
= [√(A^2 + B^2)]{sinXcosΦ + cosXsinΦ}
= [√(A^2 + B^2)]sin(X + Φ)
と変形できます。

これを①にあてはめれば
　√(A^2 + B^2) = √(9/4 + 3/4) = √3
　cosΦ = (3/2)/√3 = (√3)/2
　sinΦ = [(√3)/2]/√3 = 1/2
これを満たす Φ は
　Φ = π/6
なので

① = (√3)sin(θ + π/6)　　　②

ということになります。

②は
　sin(π - θ) = sinθ
であることを使えば
① = (√3)sin(θ + π/6)
= (√3)sin[π - (θ + π/6)]
= (√3)sin[-θ + (5/6)π]
= (√3)sin{-[θ - (5/6)π]}
= -(√3)sin(θ - (5/6)π)
なので、#1 さんの答と等価です。

この回答へのお礼

理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/13 17:38

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/08/12 18:54

sin θ - sin(θ - 2π/3)

=2cos[{θ+(θ - 2π/3)}/2] sin[{θ - (θ - 2π/3)}/2]

=2cos(θ - π/3) sin π/3

=√3cos(θ - π/3)

=√3sin{π/2 - (θ - π/3)}

=√3sin(- θ + 5π/6)

= - √3sin(θ - 5π/6)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/13 17:38