【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

自然数nに対してCn:=∫dθ/cosnθとおくとき,
以下の問に答えよ:
(a)C3をC1を用いて表せ.ただし,途中の計算で置換積分を使用しないこと(
(b)C1を頑張って求めよ.

質問者からの補足コメント

  • へこむわー

    問題の答えをお知らせください。

      補足日時:2021/08/13 20:13

A 回答 (3件)

C₃ = ∫dθ/cos(3θ)


 = ∫dθ/((4cosθ)³ - 3cosθ)
 = ∫{ (4/3)(cosθ)/(4(cosθ)^2 - 3)) - (1/3)/cosθ }dθ
 = (4/3)∫(cosθ)dθ/(4(cosθ)^2 - 3)) - (1/3)∫dθ/cosθ
 = (4/3)∫ds/(4(1 - s^2) - 3)) - C₁  ; s = sinθ で置換
 = (4/3)∫ds/(1 - 4s^2) - C₁
 = (2/3)∫{ 1/(2s + 1) - 1/(2s - 1) }ds - C₁
 = (2/3){ log(2s + 1) - log(2s - 1) + A } - C₁  ; A は定数
 = (2/3) log( (2sinθ + 1)/(2sinθ - 1) ) + A₀ - C₁  ; A₀ = (2/3)A
A は積分定数。 あるいは、
問題文中の ∫ に何か積分範囲がついているのであれば、それなりに。

C₁ = ∫dθ/cosθ
 = ∫(cosθ)dθ/(cosθ)^2
 = ∫ds/(1 - s^2)
 = ∫ds/(1 - s^2)
 = (1/2) ∫{ 1/(s + 1) - 1/(s - 1) }ds
 = (1/2){ log(1 + s) - log(1 - s) } + B  ; B は定数
 = (1/2) log( (1 + sinθ)/(1 - sinθ) ) + B₀  ; B₀ = (1/2)B
B も積分定数だ。
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> 置換積分を使用しないこと



という不自然な指定がなければ、
C₃ = ∫dθ/cos(3θ)
 = ∫(1/3)dφ/cosφ
から C₁ の計算だけで済む。
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問題を教えろって、


それが問題ですが・・・。
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