【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

f(x) =(1 +e^x)^2/2マクローリン展開せよ

A 回答 (2件)

e^x は、マクローリン展開自体が関数の定義になっていますね。


e^x = Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n です。 これを代入すると、
f(x) = (1/2)( 1 + e^x )^2
  = (1/2)( 1 + Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n )^2
  = (1/2){ 1 + 2Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n + (Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n)^2 }
  = 1/2 + Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n + (1/2)(Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n)^2
  = 1/2 + Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n + (1/2)Σ[n=0→∞] Σ[k=0→n] (1/k!)x^k (1/(n-k)!)x^(n-k)
  = 1/2 + Σ[n=0→∞] (1/n!)x^n + Σ[n=0→∞] (1/2){ Σ[k=0→n] (1/k!) (1/(n-k)!) } x^n
  = 1/2 + Σ[n=0→∞] { (1/n!) + (1/2)Σ[k=0→n] (1/k!) (1/(n-k)!) } x^n
これで一応ベキ級数の形になったけど、
係数の整理もしたほうがいいのかな?
(1/n!) + (1/2)Σ[k=0→n] (1/k!) (1/(n-k)!)
 = (1/2)(1/n!){ 2 + Σ[k=0→n] n!/( k! (n-k)! ) }
 = (1/2)(1/n!){ 2 + Σ[k=0→n] nCk }
 = (1/2)(1/n!){ 2 + 2^n }
 = { 1 + 2^(n-1) }/n!
ですね。 これを使って、
f(x) = 1/2 + Σ[n=0→∞] { (1 + 2^(n-1)) / n! } x^n
  = 2 + Σ[n=1→∞] { (1 + 2^(n-1)) / n! } x^n
となります。
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公式どおりにやるだけですよ?



f(0) = 2

f'(x) = (1 + e^x)e^x = e^x + e^2x
より
 f'(0) = 2

f''(x) = e^x + 2e^2x
より
 f''(0) = 3

f'''(x) = e^x + 4e^2x
より
 f'''(0) = 5

あるいは
 f(x) = (1 + 2e^x + e^2x)/2 = 1/2 + e^x + (1/2)e^2x
として
 f'(x) = e^x + e^2x
 f''(x) = e^x + 2e^2x
 f'''(x) = e^x + 4e^2x
  ・・・
 f(n)(x) = e^x + [2^(n - 1)]e^2x
  ・・・

よって

 f(x) = f(0) + f'(0)x + [f''(0)/2!]x^2 + [f'''(0)/3!]x^3 + ・・・
   = 2 + 2x + (3/2)x^2 + (5/6)x^3 + ・・・ + {[2^(n - 1) + 1]/n!}x^n + ・・・  (n≧1)

かな。
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