面積分の問題です。 原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分をS,円x^2+y^2=a^2をS’。

面積分の問題です。
原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分をS,円x^2+y^2=a^2をS’。ベクトルA=(z,x,y)とする。
写真の問題を求めよという問題です！
なんか0になってしまうので、おかしいと思い質問しました。どなたか出来る方、回答よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• ベクトルnは、閉曲面Sの単位法線ベクトルです。
  また、閉曲面S+S’の内側から外側に向かう方向を正の方向とします。

    補足日時：2021/08/15 00:28

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/15 01:39

S と S’ が囲う領域を V とすると、

発散定理より
∫∫∫[V] divA dxdydz = ∫∫[S+S’] A・n dS
　　　　　　　　　　= ∫∫[S] A・n dS + ∫∫[S’] A・n dS.

A = (z,x,y) だから、
divA = ∂z/∂x + ∂x/∂y + ∂y/∂z
　　= 0 + 0 + 0 より
∫∫∫[V] divA dxdydz = ∫∫∫[V] 0 dxdydz
　　　　　　　　　　= 0.
よって、
∫∫[S] A・n dS = ∫∫∫[V] divA dxdydz - ∫∫[S’] A・n dS
　　　　　　　= 0 - ∫∫[S’] A・n dS
です。

S’ 上では n = (0,0,-1) なので、
A・n = (z,x,y)・(0,0,-1) = -y.
よって、
∫∫[S’] A・n dS = ∫∫[x^2+y^2=a^2] (-y) dxdy
　　　　　　　= ∫∫[0≦r≦a, 0≦θ<2π] (-r sinθ) rdrdθ　；極座標変換
　　　　　　　= ‐ ∫[0≦r≦a] r^2 dr ∫[0≦θ<2π] sinθ dθ
　　　　　　　= ‐ { (1/3)a^3 - (1/3)0^3 }{ -cos(2π) - (-cos0) }
　　　　　　　= ‐ { (1/3)a^3 }{ -1 + 1 }
　　　　　　　= 0.

以上より、
∫∫[S] A・n dS = 0.

0 でいいんじゃないですかね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/08/15 07:08

一見してワケワカラン話だなと。

> 原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分をS

てことは半径aの半球（中身全部含む）がS。
どこが「面積分の問題です」なのさ。

> 円x^2+y^2=a^2をS’

すなわち、z軸を中心軸とする半径aの（無限に長い）円柱の側面がS'。
S'なんて、写真の積分とは全く関係なし。

なんじゃこりゃ。


　さては問題を正しく書いてないでしょう。ひょっとして、
　　Sは「原点を中心とする半径aの球の表面のうち、z≧0の部分」
　　S'は「z=0の平面上にある、x^2+y^2≦ a^2 の円盤」
とし、ついでに
　　Vを「原点を中心とする半径aの球のz>=0の部分（つまり半球）」
　　S''を「Vの表面」
とすると、
　　S'' = S∪S'
であり、そう思うとようやく写真の式は面積分を表すことになって、No.1がお書きの話が通じる。（いや、もしかして出題者は、上記のSではなく、むしろS''を積分範囲にしろというつもりなのかも知れない。）

この回答へのお礼

すみません、そこ書き忘れてました。
その通りの問題です。申し訳ないです。

お礼日時：2021/08/15 12:21