プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

ある方から以下の様に言われました。 「質問文では { 1, cos(nx), sin(nx) } と書いてるけれど、フーリエ変換の式を見れば 実は { 1/2, cos(nx), sin(nx) } が基底に使われている。 ベクトル空間の話としては、正規直交基底のほうがスッキリしているわけで、 それなら { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } のほうが好ましいのだが、 当面の計算の手間を優先して、非正規直交基底を使っているらしい。」 出来れば、 { 1/2, cos(nx), sin(nx) } と { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } がどうやって導かれたのかを教えて頂けないでしょうか。

「ある方から以下の様に言われました。 「質」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • f・g = (1/π)∫{-π~π} f(x) g(x) dx
    と決めれば
      { 1/√2, cos(nx), sin(nx) }
    が正規直交基底になる。
      f・g = ∫{-π~π} f(x) g(x) dx
    と決めれば
      { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
    では、{ 1, cos(nx), sin(nx) }と出るf・gの式はどのような式でしょうか?

    また、 正規直交基底とした時にf・g = 0 (f≠g) …(1)となるのはわかるのですが、
       f・f = 1 …(2)はどんな時の式なのでしょうか。

      補足日時:2021/08/15 23:48

A 回答 (4件)

No.2へのコメントについて。


 「確認してくださいな」と書いたのに、やってないのかな。

>要は{ 1, cos(nx), sin(nx) }
>{ 1/2, cos(nx), sin(nx) }
>{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
>のいずれを使っても良いと言う事でしょうか。

 なーんだ、それがホントの質問なのかー。(そんなんだったら回答しないところだが。)で、No.2ではまだ難しすぎるのかしらん?

> では、{ 1, cos(nx), sin(nx) }と出るf・gの式はどのような式でしょうか?

 No.2では(モロには書かねども、結局)「それは変だよね。単に、言ってる奴がわかってないだけなんじゃ?」という意味の回答をしている。(しかし、No.3によれば何でもアリにできるんだそうです。)
    • good
    • 1

内積を定数倍とかケチ臭いこと言ってないで、


何か適当な関数 K(x,y) を持ってきて
( f, g ) = ∬ K(x,y) f(x) g(y) dxdy で定義すれば、
けっこう何でもアリにナラネ?
    • good
    • 0

正規直交基底ってのは、内積 ・ をどう定義するかによって自動的に決まります。

関数の列{...., f, g, ....}を与えれば、これを基底とする関数空間も決まる。で、この列が
  f・g = 0 (f≠g) …(1)
   f・f = 1 …(2)
の両方を満たすと、それは正規直交基底。((1)だけだと直交基底)

 さて、ご質問はフーリエ級数展開の話で、周期2πの関数についてだけ考えています。このとき:

内積を
  f・g = (1/π)∫{-π~π} f(x) g(x) dx
と決めれば
  { 1/√2, cos(nx), sin(nx) }
が正規直交基底になる。(1)(2)を確認してくださいな。
 また
  f・g = ∫{-π~π} f(x) g(x) dx
と決めれば
  { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
が正規直交基底になる。
一般に、内積を定数倍にすれば、正規直交基底の方も単にその平方根倍になるだけですね。

 さて、フーリエ級数に出てくる{ 1/2, cos(nx), sin(nx) }の1/2ってのは何なのか。この話は、複素フーリエ級数を考えるとスッキリするんです。

 複素数値を取る周期関数f: [-π,π)→C について、
 内積を
  f・g = (1/π)∫{-π~π} f(x) g*(x) dx
と決めます。ただしg*はgの複素共役です。すると、正規直交基底はnが負の場合も含めて
  { e^(i n x) } (n∈整数)
となる。これを使った複素フーリエ級数展開は
  c[n] = f・e^(i n x) = ∫{-π~π} f(x) e^(-i n x) dx
    = ∫{-π~π} f(x) cos(n x) dx - i∫{-π~π} f(x) sin(n x) dx
  f(x) ≈ Σ{n=-∞~∞} c[n](e^(i n x))
です。c[n]の実部と虚部をそれぞれp[n], -q[n]
  c[n] = p[n] - i q[n] (p[n]∈R, q[n]∈R)
と書くと
  f(x) ≈ Σ{n=-∞~∞} (p[n] - i q[n]) (cos(nx) + i sin(nx))
  = Σ{n=-∞~∞}( (p[n]cos(nx) + q[n]sin(nx)) + i (p[n]sin(nx) - q[n]cos(nx)) )

さて、fが実数値を取る関数の場合に複素フーリエ級数展開を適用すると(虚数成分がないから)
  f(x) ≈ Σ{n=-∞~∞} p[n]cos(nx) + Σ{n=-∞~∞} q[n]sin(nx)
である。しかも
  p[n] = (1/π)∫{-π~π} f(x) cos(n x) dx
  q[n] = (1/π)∫{-π~π} f(x) sin(n x) dx
  p[-n] = p[n]
  q[-n] = -q[n]
  q[0] = 0
なのでn≠0の場合には
  p[n]cos(nx) + p[-n]cos(-nx) = 2p[n]cos(nx)
  q[n]sin(nx) - q[n]sin(-nx) = 2q[n]sin(nx)
とそれぞれまとめられて
  f(x) ≈ p[0] + 2Σ{n=1~∞} p[n]cos(nx) + 2Σ{n=1~∞} q[n] sin(nx)
となる。そこで、n≧0について
  a[n] = 2p[n]
  b[n] = 2q[n]
としたのが、ご質問に添付なさった画像の式です。「1/2が出てきたのは、n=0の時だけ[n]と[-n]がまとめられないからだ」というわけ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます。
要は{ 1, cos(nx), sin(nx) }
{ 1/2, cos(nx), sin(nx) }
{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
のいずれを使っても良いと言う事でしょうか。

お礼日時:2021/08/15 23:37

どこで躓きましたか?

    • good
    • 2
この回答へのお礼

フーリエ級数展開から { 1/2, cos(nx), sin(nx) } と { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } を導く時です。

お礼日時:2021/08/15 07:27

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング