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<内積の定義> (1) (a+b, c)=(a, c)+(b, c)
(2) (ka, b)=k(a, b)
(3) (a, b)=(b, a)
(4) (a, a)≧0 かつ、(a, a)=0が成り立つのはa=0のときでそのときに限る。
<内積の性質>
(1) (a+b)•c=a•c+b•c
(2) (ka)•b=k(a•b)
(3) a•b=b•a
(4) a•a≧0 かつ、a•a=0 が成り立つのは a=0 のときでそのときに限る。 とあるのですが、定義と性質の違いはなんですか?

というか、
<内積の性質>
(1) (a+b)•c=a•c+b•c
(2) (ka)•b=k(a•b)
(3) a•b=b•a
(4) a•a≧0 かつ、a•a=0 が成り立つのは a=0 のときでそのときに限る。
が内積の定義であり性質なのでしょうか?

A 回答 (2件)

それは内積の定義ではありません


例えば
2次元ベクトル
a=(a1,a2)

b=(b1,b2)

内積(a,b)の定義は

(a,b)=a1b1+a2b2

となります
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大人の数学の世界では実ベクトル空間における内積は次の公理を満たすもの(ならなんでもよい)と定義されます。


a,bはベクトル、kは実数として、
(1) (a+b, c)=(a, c)+(b, c)
(a,b+c)=(a,b)+(a,c)
(2) (ka, b)=k(a, b)=(a,kb)
(3) (a, b)=(b, a)
(4) (a, a)≧0 かつ、(a, a)=0が成り立つのはa=0のときでそのときに限る。

高校で習うベクトルの内積は、これらを満たしますから、大人の世界でも内積です(高校の内積を一般化したものが大人の世界の内積)。

ただし、高校流に (a,b)=|a||b|cosθ (あるいは、(x1,y1,z1)と(x2,y2,z2)との内積は x1x2+y1y2+z1z2)と内積を定義するなら、上記のものは性質になります。
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