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フーリエ級数展開に関して。

① e₀(x)=1/√(2π),
e₁(x)=(1/√π)sin(x),
e₂(x)=(1/√π)cos(x),
e₃(x)=(1/√π)sin(2x),
e₄(x)=(1/√π)cos(2x),と各eに関してπを含んだ式を導くまでの過程の計算式を教えて頂けないでしょうか。


② なぜフーリエ級数展開を導く上でf(x)の式が以下のように導けたのでしょうか。 f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… どうかよろしくお願い致します。


③ また、 e₀(x)=1/√(2π),
e₁(x)=(1/√π)sin(x),
e₂(x)=(1/√π)cos(x),
e₃(x)=(1/√π)sin(2x),
e₄(x)=(1/√π)cos(2x),
に関して、
これらはどれもL²(ーπ, π)におけるノルムが1になりますし、どの2つの内積も0になります。との事ですが、 どうか上の数式の中から解答者様の扱いやすい二つの式を選んで頂き、 L²(ーπ, π)におけるノルムが1になりまり、どの2つの内積も0になる事を証明して頂けないでしょうか。 どうかよろしくお願い致します。


④ ちなみになぜ、 フーリエ級数の最初の項について求めるためのに
(f(x), e₀(x))e₀(x)を計算すれば初項が求まるとわかったのでしょうか?

A 回答 (1件)

(1)


フーリエ級数展開の基底
任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}

直交基底なのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると
α=1/√2
β=1
γ=1
の時
{1/√2,cos(nx),sin(nx)}
が正規直交基底になるのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

L²(-π, π)空間での内積

(f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると
α=1/√(2π)
β=1/√π
γ=1/√π
の時
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
が正規直交基底になるのです

(2)
「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} があるとき

f=a1 e1+...+aj ej+...+an en …(1)

と表されているとすると
(f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
=a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
=a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
=aj (j=1, 2, ..., n)

(f,e1)=a1
(f,e2)=a2

(f,ej)=aj

(f,en)=an
だから

↓これを(1)に代入すると

f=(f, e1)e1+...+(f, ej)ej+...+(f, en)en

(3)
f(x),g(x)の内積(f,g)が

L²(-π, π)空間での内積

(f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

である事を確認してください

任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}

どの2つの内積は0になる
(α,βcos(nx))=αβ∫_{-π~π}cos(nx)dx=0
だから
α=1/√(2π)
β=1/√π
γ=1/√π
の時も
どの2つの内積は0になる

ノルムは
(1/√(2π),1/√(2π))={1/(2π)}∫_{-π~π}dx=1

なる

(4)
フーリエ級数の最初の項をxを含まない定数項と決めたからそうなる
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