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((1/√π)cos(nx),(1/√π)cos(nx)) =(1/π)∫_{-π~π}({cos(nx)}^2)dx ={1/(2π)}∫_{-π~π}{1+cos(2nx)}dx ={1/(2π)}[x+sin(2nx)/(2n)]_{-π~π} =2π/(2π) =1

((1/√π)sin(nx),(1/√π)sin(nx)) =(1/π)∫_{-π~π}({sin(nx)}^2)dx ={1/(2π)}∫_{-π~π}{1-cos(2nx)}dx ={1/(2π)}[x-sin(2nx)/(2n)]_{-π~π} =2π/(2π) =1

(1/√(2π),1/√(2π)) ={1/(2π)}∫_{-π~π}dx =2π/(2π) =1
だから { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } は 正規直交基底 と言われたのですが内積が0の時が直交なのではないのですか? なぜ1の時は関数同士のなす角が0°なのに正規「直交」基底と言われるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • ありがとうございます。
    要は、((1/√π)cos(nx),(1/√π)cos(nx))
    =2π/(2π)
    =1...①

    ((1/√π)sin(nx),(1/√π)sin(nx))
    =2π/(2π)
    =1...②

    (1/√(2π),1/√(2π))
    ={1/(2π)}∫_{-π~π}dx
    =2π/(2π)
    =1...③

    だから

    { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
    は①、②、③より画像の様に(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)となるため、
    正規直交基底と言えるのですか?

    「((1/√π)cos(nx),(1/√π」の補足画像1
      補足日時:2021/08/19 10:49
  • https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
    での質問なのですが、
    フーリエ級数展開は {1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} の関数の集合体であるため、 画像よりフーリエ級数展開は一次結合と言われるのはわかります。 しかし、なぜフーリエ級数展開が正規直交系と言われるのかわかりません。 と同時に正規直交系にしたいのかわかりません。

    「((1/√π)cos(nx),(1/√π」の補足画像2
      補足日時:2021/08/19 11:23
  • というのも{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} の各関数は長さ1ではないし、各関数同士が直交しているわけでもない、最小限のベクトル、というか各関数から作られているため基底は当てはまるのはわかります。 また、画像に関してc1...cnはスカラーと言っていますが、このスカラーとは関数x^2とxの係数の事を言っているのでしょうか。 どうかよろしくお願い致します。

      補足日時:2021/08/19 11:23
  • もう一つ、画像に関して、 フーリエ級数展開を=0と仮定した場合。三角関数の式が0となるため直交関数系だと理解出来ます。
    そして、フーリエ級数展開自体が0なので、三つの式はいずれも0になります。
    そして、改めてフーリエ級数展開が0だとわかるのですが、あくまで仮定で0と置いただけなのに、 a0=a1=b1=b2=...=0と置けて、最後にフーリエ級数展開は正規直交系のように言われているのかわかりません。

    「((1/√π)cos(nx),(1/√π」の補足画像4
      補足日時:2021/08/19 11:30
  • なぜa0=a1=b1=b2=...=0と置けたのでしょうか? フーリエ級数展開が0の時は正規直交系かも知れませんが、まるでフーリエ級数展開が0ではない場合は正規直交系ではないように受け取れます。 実際はフーリエ級数展開が0でなくてもフーリエ級数展開は正規直交系だと言われているのは回答者様の教え故にわかっていますが、 なぜフーリエ級数展開が0と仮定して正規直交系とわかっただけで、フーリエ級数展開が0でない場合も正規直交系であると結論がでる理由がわかりません。

      補足日時:2021/08/19 11:30
  • 最後に参考にしました以下のサイトに関して質問があります。 フーリエ級数展開を満たす関数列は {1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} のはずなのに、なぜ画像では、全く異なる関数列でもフーリエ級数展開を満たすと言っているのかわかりません。 どうか具体的な計算を用いて詳しく説明して頂けないでしょうか。 以下は参考にしたサイトです。 https://univ-study.net/fourie-series-of-orthorogy/

    「((1/√π)cos(nx),(1/√π」の補足画像6
      補足日時:2021/08/19 11:34
  • 「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} があるとき
    f=a1 e1+...+aj ej+...+an en
    と表されているとすると
    (f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
    =a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
    =a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
    =aj (j=1, 2, ..., n)
    となります。
    従って
    f=a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en

    に関して、f=aj (j=1, 2, ..., n)から
    f=a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an enと展開できたのかわかりません。

      補足日時:2021/08/19 11:34
  • なぜなら、f=aj (j=1, 2, ..., n)には変数eがないためです。
    正しくはf=aj・ej(j=1, 2, ..., n)なのでしょうか?
    また、
    f=a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en
    =(f, e1)e1+(f, e2)e2+...+(f, ej)ej+...+(f, en)enに関して、
    どうやって、
    a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en...①
    から
    (f, e1)e1+(f, e2)e2+...+(f, ej)ej+...+(f, en)en...②と展開出来たのでしょうか?
    どうか①から②までの展開をもう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。

      補足日時:2021/08/19 11:35
  • f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… と作れた後で、 この式がフーリエ級数展開になるならば、(f(x), e₀(x))e₀(x) の部分はa0/2になると考えました。 e₀(x)=1/√(2π)はわかりました。
    しかし、画像のanとbnをf(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… からどうやって導くかわかりません。
    どうか導き方を教えてください。

    「((1/√π)cos(nx),(1/√π」の補足画像9
      補足日時:2021/08/19 11:39
  • ちなみに、なぜ画像の式はフーリエ級数展開になるとわかったのでしょうか?
    どうか詳しい解説をお願い致します。

    「((1/√π)cos(nx),(1/√π」の補足画像10
      補足日時:2021/08/20 00:08

A 回答 (13件中1~10件)

調べるものによっては、


内積∫(-π→π)f(x)g(x)dxの定義を変える必要がある
等とはいってません!
基本的に
定義は安易に変えてはいけないのです

直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en}に対して

i≠jの時
(ei,ej)=0

i=jの時
(ei,ei)=1

となる時

{e₁, e₂, e₃,...,en}を
正規直交基底
というのです

例えば

{e1,e2,e3}
を正規直交基底とすると
(e1,e1)=1
(e1,e2)=0
(e1,e3)=0
(e2,e1)=0
(e2,e2)=1
(e2,e3)=0
(e3,e1)=0
(e3,e2)=0
(e3,e3)=1
となる

fに対して

f=a1e1+a2e2+a3e3

となる実数a1,a2,a3がある時

(f,e1)
=(a1e1+a2e2+a3e3,e1)
=a1(e1,e1)+a2(e2,e1)+a3(e3,e1)
=a1×1 +a2×0 +a3×0
=a1

(f,e1)=a1

(f,e2)
=(a1e1+a2e2+a3e3,e2)
=a1(e1,e2)+a2(e2,e2)+a3(e3,e2)
=a1×0 +a2×1 +a3×0
=a2

(f,e2)=a2

(f,e3)
=(a1e1+a2e2+a3e3,e3)
=a1(e1,e3)+a2(e2,e3)+a3(e3,e3)
=a1×0 +a2×0 +a3×e3
=a3

(f,e3)=a3

f=a1e1+a2e2+a3e3 の a1に(f,e1)=a1をa2に(f,e2)=a2をa3に(f,e3)=a3を代入すると

f=(f,e1)e1+(f,e2)e2+(f,e3)e3

となる

f=a1e1+…+anenから(f,ej)=ajとなるのです
(f,e1)はa1と置けたのでありません(f,e1)=a1となるのです
(f,e2)はa2と置けたのでありません(f,e2)=a2となるのです
(f,ej)はajと置けたのでありません(f,ej)=ajとなるのです
(f,en)はanと置けたのでありません(f,en)=anとなるのです

区間[-π, π]における関数の中では

フーリエ級数展開の基底
任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}

直交基底なのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると
α=1/√2
β=1
γ=1
の時
{1/√2,cos(nx),sin(nx)}
が正規直交基底になるのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

L²(-π, π)空間での内積

(f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると
α=1/√(2π)
β=1/√π
γ=1/√π
の時
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
が正規直交基底になるのです

内積を
(f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

したから
(α,α)=1
となるようなαを求めると
α=1/√(2π)

(βcos(nx),βcos(nx))=1
となるようなβを求めると
β=1/√π

(γsin(nx),γsin(nx))=1
となるようなγを求めると
γ=1/√π
だから
{1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
が正規直交基底になり

e₀(x)=1/√(2π)
e₁(x)=(1/√π)sin(x)
e₂(x)=(1/√π)cos(x)
e₃(x)=(1/√π)sin(2x)
e₄(x)=(1/√π)cos(2x)

となったのです
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    • 0

調べるものによっては、


内積∫(-π→π)f(x)g(x)dxの定義を変える必要がある
等とはいってません!

基底{e₁, e₂, e₃,...,en}に対して

i≠jの時
(ei,ej)=0

i=jの時
(ei,ei)=1

となる時

{e₁, e₂, e₃,...,en}を
正規直交基底
というのです
    • good
    • 1

f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…



フーリエ級数展開になるとわかったのではありません

区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)

定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

一意にフーリエ級数展開
できるとわかったので

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると

e₀(x)=1/√2
en(x)={cos(nx),sin(nx)}
とすれば

a(0)/2=(e₀(x),e₀(x))e₀(x)
(a(n),b(n))=(f(x),en(x))en(x)
となるから

f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…

となるとわかったのです
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    • 0

f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…


(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2


e₀(x)=1/√(2π)
となるとは限りません

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義すると

(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2
(f(x), e₀(x))=e₀(x)∫_{-L~L}f(x)dx
a0=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dx
だから
a0L=∫_{-L~L}f(x)dx
(f(x), e₀(x))=a0Le₀(x)
a0/2=(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0L{e₀(x)}^2
a0/2=a0L{e₀(x)}^2
1/2=L{e₀(x)}^2
L{e₀(x)}^2=1/2
{e₀(x)}^2=1/2L


e₀(x)=1/√(2L)

となります
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(2)


「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} があるとき

f=a1 e1+...+aj ej+...+an en …(1)

と表されているとすると
(f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
=a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)

j=1の時
=a1×1+a2×0+......+an×0
j=2の時
=a1×0+a2×1+......+an×0
2<j<nの時
=a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
j=nの時
=a1×0+......+an×1

=aj (j=1, 2, ..., n)

(f,e1)=a1
(f,e2)=a2

(f,ej)=aj

(f,en)=an
だから

(f,ej)=aj を(1)のajに代入すると

f=(f, e1)e1+...+(f, ej)ej+...+(f, en)en
となる
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この回答へのお礼

すいません。
なぜ、「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} と置いた際にどうやって
f=a1 e1+...+aj ej+...+an enを作ったのでしょうか?
また、f=a1 e1+...+aj ej+...+an enと
f(x)=a1 e1+...+aj ej+...+an enは同じでしょうか?

お礼日時:2021/08/20 06:09

(2)


「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} があるとき

f=a1 e1+...+aj ej+...+an en …(1)

と表されているとすると
(f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
=a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)

j=1の時
=a1×1+a2×0+......+an×0
j=2の時
=a1×0+a2×1+......+an×0
2<j<nの時
=a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
1<j=nの時
=a1×0+......+an×1

=aj (j=1, 2, ..., n)

(f,e1)=a1
(f,e2)=a2

(f,ej)=aj

(f,en)=an
だから

↓これを(1)に代入すると

f=(f, e1)e1+...+(f, ej)ej+...+(f, en)en
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    • 1
この回答へのお礼

なるほど、調べるものによっては、
内積∫(ーπ→π)f(x)g(x)dxの定義を変える必要があるのですね。
しかし、どんな時に内積∫(ーπ→π)f(x)g(x)dxの定義を変えるのでしょうか?
また、今更なのですが、 なぜ 区間[-π, π]における関数の中では e₀(x)=1/√(2π), e₁(x)=(1/√π)sin(x), e₂(x)=(1/√π)cos(x), e₃(x)=(1/√π)sin(2x), e₄(x)=(1/√π)cos(2x) と各eに関して式が作れたのでしょうか?どうやって作ったのでしょうか?
後、なぜ、(f,e1)=a1、(f,e2)=a2.(f,ej)=aj、(f,en)=anと(f,e1)はa1、(f,e2)はa2.(f,ej)はaj、(f,en)はanと置けたのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2021/08/20 06:02


f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… と作れた後で、
この式がフーリエ級数展開になるならば、
(f(x), e₀(x))e₀(x) の部分はa0/2になると考えました。

ここまではよいけれども

e₀(x)=1/√(2π)
となるとは限りません

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義すると

e₀(x)=1/√2

となります
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この回答へのお礼

なぜ、内積の式は(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dxなのに
(f,g)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)g(x)dxとできるのでしょうか?

お礼日時:2021/08/19 23:52

「正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} があるとき



f=a1 e1+...+aj ej+...+an en …(1)

と表されているとすると
(f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
=a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
=a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
=aj (j=1, 2, ..., n)

(f,e1)=a1
(f,e2)=a2

(f,ej)=aj

(f,en)=an
だから

↓これを(1)に代入すると

f=(f, e1)e1+...+(f, ej)ej+...+(f, en)en


f=aj (j=1, 2, ..., n)←間違い

等とはどこにもかいてありません間違いです
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この回答へのお礼

=a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
=a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0より
なぜ、(e1, ej)は0になるのでしょうか?
(ej, ej)は内積の計算より関数のなす角が0°なので1と出るのはわかります。

また、f=a1 e1+...+aj ej+...+an en …(1)
をf=(f, e1)e1+...+(f, ej)ej+...+(f, en)enに代入するとどんな式が導かれるのでしょうか?


なるほど、

(f, ej)=(a1 e1+a2 e2+...+aj ej+...+an en, ej)
=a1(e1, ej)+a2(e1,ej)+...+aj(ej, ej)+...+an(en, ej)
=a1×0+a2×0+...+aj×1+...+an×0
=aj (j=1, 2, ..., n)
により、
(f,ej)=aj (j=1, 2, ..., n)となるため、
f=aj (j=1, 2, ..., n)は間違いだとわかりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2021/08/20 00:04

フーリエ級数展開


の基底
が正規直交系と言われるのであって

フーリエ級数展開が正規直交系と言われる

のではありません

フーリエ級数展開
の基底
には
正規直交系であるものと
そうでないものの両方存在します

だから

フーリエ級数展開が正規直交系と言われる

というのは無意味なのです


フーリエ級数展開が正規直交系と言われる

等とはどこにもかいてありません

フーリエ級数展開の基底
任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nx),γsin(nx)}

直交基底なのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると
α=1/√2
β=1
γ=1
の時
{1/√2,cos(nx),sin(nx)}
が正規直交基底になるのです
これ以外は非正規直交基底になるのです

区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)

定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

一意にフーリエ級数展開
できるといっているだけです

同じ関数
f(x)
に対して
2つのフーリエ級数展開

f(x)=a1(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a1(n)cos(nx)+b1(n)sin(nx)}
f(x)=a2(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a2(n)cos(nx)+b2(n)sin(nx)}

があると仮定すると

0={a1(0)-a2(0)}/2+Σ_{n=1~∞}{{a1(n)-a2(n)}cos(nx)+{b1(n)-b2(n)}sin(nx)}

関数
f(x)=0の時のフーリエ級数展開が
a(0)=a1(0)-a2(0)=0
a(n)=a1(n)-a2(n)=0
b(n)=b1(n)-b2(n)=0
となるから
a1(0)=a2(0)
a1(n)=a2(n)
b1(n)=b2(n)
だから
一意にフーリエ級数展開
できるといっているだけです
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フーリエ級数展開が正規直交系と言われる

等とはどこにもかいてありません

a0=a1=b1=b2=...=0と置けて、

最後にフーリエ級数展開は正規直交系のように言われている

等とはどこにもかいてありません

区間[-π,π]で
積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)

定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

一意にフーリエ級数展開
できるといっているだけです
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