【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… と作れた後で、 この式がフーリエ級数展開になるならば、(f(x), e₀(x))e₀(x) の部分はa0/2になると考えました。 e₀(x)=1/√(2π)はわかりました。
しかし、画像のanとbnをf(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+… からどうやって導くかわかりません。
どうか導き方を教えてください。

「f(x)=(f(x), e₀(x))e₀」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • また、

    「内積を
    (f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

    したから
    (α,α)=1
    となるようなαを求めると
    α=1/√(2π)

    (βcos(nx),βcos(nx))=1
    となるようなβを求めると
    β=1/√π

    (γsin(nx),γsin(nx))=1
    となるようなγを求めると
    γ=1/√π
    だから
    {1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
    が正規直交基底になり
    e₀(x)=1/√(2π)
    e₁(x)=(1/√π)sin(x)
    e₂(x)=(1/√π)cos(x)
    e₃(x)=(1/√π)sin(2x)
    e₄(x)=(1/√π)cos(2x)」となる
    に関して、どうやって
    α=1/√(2π)、β=1/√πを求めたのでしょうか?

      補足日時:2021/08/20 15:09
  • 最後に
    (f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

    定義すると
    α=1/√(2π)
    β=1/√π
    γ=1/√π
    の時
    {1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
    に関して、なぜ、
    α=1/√(2π)
    β=1/√π
    γ=1/√πと置けば
    {1/√(2π),(1/√π)cos(nx),(1/√π)sin(nx)}
    と導けるとわかったのでしょうか?

      補足日時:2021/08/20 15:09
  • ちなみに、画像の(1)はどのような過程の計算を経て作られたのでしょうか?
    どうか教えて頂けるとありがたいです。

    「f(x)=(f(x), e₀(x))e₀」の補足画像3
      補足日時:2021/08/20 15:42
  • 正しくは{1/√(2π), (1/√π)cosx, (1/√π)cos2x, …, (1/√π)sinx, (1/√π)sin2x, …}であり、{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯}は不正確と言われたのでが、
    なぜ{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯}は不正確なのでしょうか?
    また、{1/√(2π), (1/√π)cosx, (1/√π)cos2x, …, (1/√π)sinx, (1/√π)sin2x, …}が正しいのは
    正しいフーリエ級数展開の最初の項(a0)/2が導けるからでしょうか?
    また、なぜ1/√(2π)と置けば、正しいフーリエ級数展開の最初の項(a0)/2が導けると分かったのでしょうか?

      補足日時:2021/08/20 16:13
  • 画像において、質問があります。
    1/√(2π),(1/√π)cos(nx)を画像の式(f(x),g(x))に代入して、1とななり、(1,0,0,0,0....)となるのだと思いますが、なぜ正規直交基底となるのでしょうか?

    1/√(2π),(1/√π)cos(nx)を式(f(x),g(x))に代入した式と(1/√π)cos(nx)と(1/√π)sin(nx)に代入した式との間の角度が90°でり、成分というかノルム(長さ)が1であるため、正規直交基底と言われるのでしょうか?

    「f(x)=(f(x), e₀(x))e₀」の補足画像5
      補足日時:2021/08/20 16:42
  • ごめんなさい。
    画像には(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dxと書いてあったもので、、、。

    すいません。
    なぜ(f(x),e0(x))=∫_{-L~L}とすることで正しい計算ができるとわかったのでしょうか?

    すいません、
    {cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導いているのです
    とわかりました。
    申し訳無いのですが、{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くまでをわかりやすく計算過程を経て教えて頂けないでしょうか。

      補足日時:2021/08/20 17:11
  • ありがとうございます。
    画像のan,bnのフーリエ係数を
    - L〜 L(-π〜π)の範囲で
    {cos(nL/π),sin(nL/π)}からen(L/π)を導く計算過程を書いていただく事は可能でしょうか?
    あるいは、f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…からan,bnのフーリエ係数を求める事は出来るでしょうか?可能ならばan,bnを求める過程の計算を教えてください。

    「f(x)=(f(x), e₀(x))e₀」の補足画像7
      補足日時:2021/08/21 00:09
  • ちなみに、下のサイトの画像では、{1/√(2π), (1/√π)cosx, (1/√π)cos2x, …, (1/√π)sinx, (1/√π)sin2x, …}ではなく、{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} と書いてありますが、これはサイトが間違っているのでしょうか? 仮に(f(x),g(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}²dx) の定義を変えれば、{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯}の場合でも、正しい係数を使ったノルムが1となる正規直交系になるのでしょうか?
    導けるならば、内積の定義は(f(x),g(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}²dx) で良いでしょうか。
    以下はサイトです。https://univ-study.net/fourie-series-of-orthorogy/

      補足日時:2021/08/21 00:33
  • なぜ、正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} がある時どんな原理で、理由でf=a1 e1+...+aj ej+...+an enと表せるのでしょうか?
    すいません。同じ質問なのですが、
    ((a0)/2, cos nx)+((a1)cosx, cos nx)+((b1)sinx, cos nx)+((a2)cos2x, cos nx)+((b2)sin2x, cos nx)…=0 から ((a0)/2)(1, cos nx)+(a1)(cosx, cos nx)+(b1)(sinx, cos nx)+(a2)(cos2x, cos nx)+(b2)(sin2x, cos nx)…=0
    とどうやって導いたのでしょうか?
    というか、((a0)/2, cos nx)が((a0)/2)(1, cos nx)と変形出来たのはなぜでしょうか?どんな原理を使ったのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 01:22
  • ありがとうございます。
    {cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くまでに質問あります。
    (f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

    定義して
    f=f(x)
    g=e0(x)
    とすると
    内積より
    (f(x),e0(x))=∫_{-L~L}f(x)g(x)dxより=e0(x)∫_{-L~L}f(x)dxと出来る

      補足日時:2021/08/21 03:10

A 回答 (7件)

(定理)--------------------------


区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)

定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

フーリエ級数展開できる
---------------------------------
という定理から

e₂ = (1/√π)cosxとした時

(f, e2)
=∫[-π, π){f・e2}dx
=∫_{-π~π} (1/√π)f(x)cos(x)dx
=(1/√π)∫_{-π~π}f(x)cos(x)dx
=a(1)/√π

となります

f(x)がどういう関数なのか具体的に与えられなければ
a(1)の値は求めることはできません
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(f(x),g(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}²dx)


はあなたが補足にかいたものです
自分でかいたものを忘れるぐらいだから他人の文章を理解できるわけがありません

{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯}

非正規直交基底なのです
正規でない事は

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると

(cosx,cosx)
=(1/π)∫_{-π~π}(cosx)^2dx
={1/(2π)}∫_{-π~π}{1+cos(2x)}dx
={1/(2π)}[x+sin(2x)/2]_{-π~π}
=2π/(2π)
=1

(1,1)
=(1/π)∫_{-π~π}dx
=2π/π
=2
≠1

だから正規でない

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義すると

{1/√2,cos(nx),sin(nx)}
が正規直交基底となります
これを

1/√2,sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),…

順にならべて

e0(x),e1(x),e2(x),e3(x),e4(x),…

すると

e0(x)=1/√2
e1(x)=sin(x)
e2(x)=cos(x)
e3(x)=sin(2x)
e4(x)=cos(2x)

となるのです

正規直交基底の要素にen(x)という名前をつけただけのことです
en(x)を導くなどというものではありません
en(x)を導いたからといって
なにもわかりません
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この回答へのお礼

すいません。
あの、e₂ = (1/√π)cosxとした時、
(f, e2)=(∫[ーπ, π){f・e2}dx) の答えはなんでしょうか?
どうしても(f, e2)=(∫[ーπ, π){f・e2}dx)のfをどう扱って良いか分からず詰んでいます。

お礼日時:2021/08/21 07:41

- L〜 L(-π〜π)の範囲で


{cos(nL/π),sin(nL/π)}ではありません間違いです
xが抜けてます

- L〜 L の時は
{cos(nLx/π),sin(nLx/π)}
です

https://univ-study.net/fourie-series-of-orthorogy/
のサイトでは

{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯}

は直交系といっているだけで
正規だとはいっていません

(f(x),g(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}²dx)
の定義は内積にはなりません

{e₁, e₂, e₃,...,en}

存在して
任意の
f
に対して
f=a1 e1+...+aj ej+...+an en
となる
実数
a1,…an
がある時
{e₁, e₂, e₃,...,en}

基底という基底の定義なのです
正規直交である必要は全くないのです

((a0)/2, cos nx)が((a0)/2)(1, cos nx)と変形出来たのは
内積の性質(ka,b)=k(a,b)からいえるのです

- L〜 L の時は
{cos(nLx/π),sin(nLx/π)}
です
{cos(nx),sin(nx)}ではありません
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
訂正ありがとうございます。
なるほど、内積の定義(ka, b)=k(a, b)を利用したのですね!
あの、(f(x),g(x))=(∫[ーπ, π){f(x)・g(x)}²dx) はどこから出てきたのでしょうか?
また、出来れば、{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯} が
正規直交基基底ではない事を証明して頂けないでしょうか?
最後に{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導けますでしょうか?そして、{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くと何がわかるのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2021/08/21 05:29

関数f(x)の周期が2Lだから


---------------------------
(定理)
2Lを周期にもつ周期関数f(x)について

a(n)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)cos(nπx/L)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,…)
とすると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nπx/L)+b(n)sin(πx/L)}

とフーリエ級数展開できる
-----------------------
という定理から
(f(x),e0(x))=∫_{-L~L}とすることで正しい計算ができるのです

関数f(x)の周期が2Lの時は

{cos(nx),sin(nx)}
ではなく

{cos(nπx/L),sin(nπx/L)}

となります

区間[-L, L]における関数の中では

フーリエ級数展開の基底
任意の実数α≠0,β≠0,γ≠0に対して
{α,βcos(nπx/L),γsin(nπx/L)}

直交基底なのです

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義すると

(α,α)=1とすると

1
=(α,α)
=∫_{-L~L}(α^2)dx
=α^2∫_{-L~L}dx
=2Lα^2

2Lα^2=1
α^2=1/(2L)
α=1/√(2L)

(βcos(nπx/L),βcos(nπx/L))=1とすると

1
=(βcos(nπx/L),βcos(nπx/L))
=∫_{-L~L}{βcos(nπx/L)}^2}dx
=(β^2/2)∫_{-L~L}{1+cos(2nπx/L)}dx
=(β^2/2)[x+Lsin(2nπx/L)/(2nπ)]_{-L~L}
=Lβ^2

Lβ^2=1
β^2=1/L
β=1/√L

(γsin(nπx/L),γsin(nπx/L))=1とすると

1
=(γsin(nπx/L),γsin(nπx/L))
=∫_{-L~L}{γsin(nπx/L)}^2}dx
=(γ^2/2)∫_{-L~L}{1-cos(2nπx/L)}dx
=(γ^2/2)[x-Lsin(2nπx/L)/(2nπ)]_{-L~L}
=Lγ^2

Lγ^2=1
γ^2=1/L
γ=1/√L

{1/√(2L),(1/√L)cos(nπx/L),(1/√L)sin(nπx/L)}

正規直交基底となり
これを
1/√(2L),(1/√L)sin(nπx/L),(1/√L)cos(nπx/L),…
の順に
e0,e1,e2,…
とすると

e₀(x)=1/√(2L)
e₁(x)=(1/√L)sin(πx/L)
e₂(x)=(1/√L)cos(πx/L)
e₃(x)=(1/√L)sin(2πx/L)
e₄(x)=(1/√L)cos(2πx/L)

となるのです
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訂正です


f(x),g(x)の内積(f,g)を
(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dx
とした時

{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }

非正規直交基底
だけれども
f(x),g(x)の内積(f,g)を
(f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx

定義を変更すると
正規直交基底
になる

異なる関数の内積が0→(直交という)
同じ関数の内積が1
になる時
正規というのです
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fとgの内積の定義を変えて(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dxにしてません


内積の定義は

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義すると

と書いてあるのがみえないのでしょうか?

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義したのだから
f=f(x)
g=e0(x)
とすると

(f(x),e0(x))=∫_{-L~L}f(x)e0(x)dx=e0(x)∫_{-L~L}f(x)dx
となるのです
---------------------------
(定理)
2Lを周期にもつ周期関数f(x)について

a(n)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)cos(nπx/L)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,…)
とすると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nπx/L)+b(n)sin(πx/L)}

とフーリエ級数展開できる
-----------------------
という定理から
a(0)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dx
がいえるのです
これから
a(0)L=∫_{-L~L}f(x)dx

内積の定義
(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx
から
(f(x),e0(x))=e0(x)∫_{-L~L}f(x)dx
↓a(0)L=∫_{-L~L}f(x)dxだから

(f(x),e0(x))=e0(x)a(0)L

↓両辺にe0(x)をかけると

(f(x),e0(x))e0(x)=a(0)L{e0(x)}^2

en(x)から{cos(nx),sin(nx)}を導いてはいません

先に定理からフーリエ級数展開してから

{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導いているのです

正規直交基底{e1,…,en}
があるとき

f=a1e1+…+anen

となるのではありません

ある{e1,…,en}があって

任意の
f
に対して
f=a1e1+…+anen
となる
実数a1,…,anがある時に

{e1,…,en}
を基底というのです

i≠j の時(ei,ej)=0
i=jの時(ei,ei)≠0
の時
{e1,…,en}
を直交基底というのです

i≠j の時(ei,ej)=0
i=jの時(ei,ei)=1
の時
{e1,…,en}
を正規直交基底というのです
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f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…


(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2


e₀(x)=1/√(2π)
となるとは限りません

f(x),g(x)の内積(f,g)を

(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義すると

(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2
(f(x), e₀(x))=e₀(x)∫_{-L~L}f(x)dx
a0=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dx
だから
a0L=∫_{-L~L}f(x)dx
(f(x), e₀(x))=a0Le₀(x)
a0/2=(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0L{e₀(x)}^2
a0/2=a0L{e₀(x)}^2
1/2=L{e₀(x)}^2
L{e₀(x)}^2=1/2
{e₀(x)}^2=1/2L


e₀(x)=1/√(2L)

となります
L=πでない限り間違いです
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この回答へのお礼

フーリエ級数展開がわかった後で、fとgの内積の定義を変えて(f,g)=(1/π)∫_{-π~π}f(x)g(x)dxにしたのですね。
しかし、なぜ内積(f,g)=∫_{-π~π}f(x)g(x)dx
の右辺に(1/π)を付け足せば、a(0)/2が導けるとわかったのでしょうか?

なるほど、e₀(x)=1/√2Lに関して、f(x)=(f(x), e₀(x))e₀(x)+(f(x), e₁(x))e₁(x)+(f(x), e₂(x))e₂(x)+(f(x), e₃(x))e₃(x)+(f(x), e₄(x))e₄(x)+…を導いてから式の一部(f(x), e₀(x))e₀(x)から1/√2Lを導いたのですね!
ただ、
「(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2
(f(x), e₀(x))=e₀(x)∫_{-L~L}f(x)dx
a0=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dx」に関して、
(f(x), e₀(x))からe₀(x)∫_{-L~L}f(x)dxをどうやって導いたのでしょうか?
また、「(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0/2
(f(x), e₀(x))=e₀(x)∫_{-L~L}f(x)dx
a0=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dx」から
どうやってa0=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dxと導いたのでしょうか?

また、a0L=∫_{-L~L}f(x)dx
(f(x), e₀(x))=a0Le₀(x)
a0/2=(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0L{e₀(x)}^2
a0/2=a0L{e₀(x)}^2
1/2=L{e₀(x)}^2
L{e₀(x)}^2=1/2
{e₀(x)}^2=1/2Lの部分のa0/2=(f(x), e₀(x))e₀(x)=a0L{e₀(x)}^2のa0L{e₀(x)}^2はどうやって導いたのでしょうか?
また、en(x)からどうやって{cos(nx),sin(nx)}を導いたのでしょうか?
最後に(a(n),b(n))=(f(x),en(x))en(x)より(a(n),b(n))からどうやって(f(x),en(x))en(x)を導いたのでしょうか?

お礼日時:2021/08/20 15:09

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