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{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くまでに質問あります。
(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx

定義して
f=f(x)
g=e0(x)
とすると
内積より
(f(x),e0(x))=∫_{-L~L}f(x)g(x)dxより=e0(x)∫_{-L~L}f(x)dxと出来る
そして、
(定理)
2Lを周期にもつ周期関数f(x)について

a(n)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)cos(nπx/L)dx (n=0,1,2,…)
b(n)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,…)
とすると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nπx/L)+b(n)sin(πx/L)}

とフーリエ級数展開できる
-----------------------
という定理から
a(0)=(1/L)∫_{-L~L}f(x)dx
がいえるのです
これから
a(0)L=∫_{-L~L}f(x)dx

内積の定義
(f,g)=∫_{-L~L}f(x)g(x)dx
から
(f(x),e0(x))=e0(x)∫_{-L~L}f(x)dx
↓a(0)L=∫_{-L~L}f(x)dxだから

(f(x),e0(x))=e0(x)a(0)L

↓両辺にe0(x)をかけると

(f(x),e0(x))e0(x)=a(0)L{e0(x)}^2
までは理解できるのですが、
その後の故に、
先に定理からフーリエ級数展開してから
{cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導けるとのことですが、
何度読み返しても、
{cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導ける理由がわかりません。
また、なぜ(f(x),e0(x))=∫_{-L~L}f(x)g(x)dxを導くために(f(x),e0(x))=∫_{-L~L}f(x)g(x)dxと式を作った理由がわかりません。

質問者からの補足コメント

  • ちなみに、{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くと何がわかるのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 03:17
  • ①{1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,⋯,cos ,sin ,⋯}(n=1, 2, 3, …) の時、なぜフーリエ級数展開が作れないのでしょうか?

    ②なぜ、正規直交基底{e₁, e₂, e₃,...,en} がある時、f=a1 e1+...+aj ej+...+an enと式が導けるのでしょうか?どんな理屈でf=a1 e1+...+aj ej+...+an enが導かれたのか知りたいです。


    ③ちなみに、{cos(nx),sin(nx)}からen(x)を導くと何がわかるのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 05:05
  • ④((a2)sinx, 1)…(a2)sinx と 1の内積
    =(a2)(sinx, 1)…sinxと1の内積の(a2)倍
    =(a2)・0…sinx と1は直交するから内積は0
    =0
    ・・・・・・
    より、最初の式は
    ((a0)/2)(1,1)+(a1)(cosx,1)+(b1)(sinx,1)+(a2)(cos2x,1)+(b2)(sin2x,1)+…=0
    (a0)/2・1+(a1)・0+(b1)・0+(a2)・0+(b2)・0+…=0
    (a0)/2=0
    (a0)=0
    となります。
    に関して、((a2)sinx, 1)からどうやって
    =(a2)(sinx, 1)と導いたのでしょうか?
    また、なぜ(cosx,1)の内積は0なのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 05:09
  • ⑤ e0=1/√(2π)として、
    f(x)のフーリエ展開の第1項 はf= (f, e0)e0+(f, e1)e1+(f, e2)e2+...+(f, ej)ej+...+(f, en)enより =(f(x), e0)e0
    ={∫[ーπ, π] f(x)(1/√(2π))dx}(1/√(2π)
    =(1/(2π))∫[ーπ, π]f(x)dx
    =(1/2)(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dx
    となります。
    これを(a0)/2 と表すなら
    (a0)=(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dx
    になる、ということです。
    cos0=1 ですから
    (a0)=(1/π)∫[ーπ, π]f(x)cos(0x)dx
    となります。 に関して、cos0=1はなんのために出てきたのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 05:10
  • ⑥の続き。
    また、「f=(1/2)(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dx
    となります。
    これを(a0)/2 と表すなら (a0)/2=(1/2)(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dx...① となり、両辺に2を掛けて、
    (a0)=(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dxと導ける」において、(f,g)の形ではないのに、なぜ、内積の式の形(f(x),g(x))=(1/π)∫[ーπ, π]f(x)g(x)dxの形が主流なのに①のように(a0)=(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dxと置けるのでしょうか? また、なぜ(a0)=(1/π)∫[ーπ, π]f(x)dxにcos(0x)を入れたのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 05:11
  • ⑥内積によるのフーリエ級数展開のフーリエ係数anを求める計算に関して、
    (f(t), (1/√π)cos(kt))・(1/√π)cos(kt)
    =∫[ーπ, π]f(t)(1/√π)cos(kt)dt・(1/√π)cos(kt)
    =(1/π)∫[ーπ, π]f(t)cos(kt)dt・cos(kt)
    =(an)・cos(kt)
    ここからどうやって
    (an)=(1/π)∫[ーπ, π]f(t)cos(kt)dtを導いたのでしょうか?
    また、 (f(t), (1/√π)cos(kt))・(1/√π)cos(kt)の式に関して、結果的にanを求める式が
    なぜ (f(t), (1/√π)cos(kt))・(1/√π)cos(kt)だと推測出来たのでしょうか?

      補足日時:2021/08/21 05:12

A 回答 (1件)

{cos(nx),sin(nx)}からen(x)が導けません間違いです



f(x)の周期は2Lなので

{1,cos(nx),sin(nx)}は基底になりません

{1,cos(nπx/L),sin(nπx/L)}が基底になります

en(x)とは(正規直交)基底なのです

基底とはどの空間の基底なのかによって決まるものなのです
今は
2Lを周期にもつ周期関数f(x)の空間を扱っているのだから

基底は
当然
2Lを周期にもつ周期関数でなければなりません
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