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重積分の等式について
2∫[0,π]{∫[0,y] f(sin x)dx}dy
=∫[0,π]{∫[0,π] f(sin x)dx}dy
が成り立つと思いますが、どのように証明したら良いでしょうか?

A 回答 (1件)

I=∫[0,π]{∫[0,π] f(sin x)dx}dy=π∫[0,π] f(sin x)dx



J=2∫[0,π]{∫[0,y] f(sin x)dx}dy
=2{∫[0,π]{∫[x,π] f(sin x)dy}dx・・・・・積分順序の変更

=2{∫[0,π]{f(sin x)(π-x)}dx・・・・・①
=2{π∫[0,π] f(sin x)dx-∫[0,π] f(sin x)x dx}
=2{I-∫[0,π] f(sin x)x dx}・・・・②

①で z=π-xと変数変換すると
J=2∫[π,0]f(sin z) z (-dz)=2∫[0,π] f(sin x)x dx
これを②にいれると

J=2I-J → J=I
つまり、命題が証明された。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。華麗なご回答に目が覚めました。

お礼日時:2021/08/22 19:08

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