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代数的整数からなる数列の極限が超越数になることはありますか?
あるなら具体例を、ないならその証明をお願いします。

A 回答 (3件)

こんなのはいかが?


e^x = Σ[k=0→∞] (1/k!)x^k は有名ですね。
右辺を有限次打ち切った多項式を使って、
Σ[k=0...n] (1/k!)x^k = 2 の根のひとつを x_n として
数列 { x_n | n は自然数 } を作ります。
Σ[k=0...n] (1/k!)x^k = 2 の両辺を n! 倍すると
Σ[k=0...n] (n!/k!)x^k = 2n! ですが、
この方程式は、最高次の係数が n!/n! = 1 で、
他の係数はみな整数です。
つまり、 x_n は代数的整数です。
n→∞ の極限をとると
e^(x_∞) = 2 となり、 x_∞ = log 2.
log 2 は、超越数ですね?
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この回答へのお礼

あなたに会えてよかった

ありがとうございます。
深く納得いたしました。

お礼日時:2021/08/26 18:28

すみません。

代数的整数を代数的数と見間違えていました。もちろん有理数かつ代数的整数となるのは整数だけですので、自分が挙げたものは例になりません。
元の質問については、自分はよく分かりません。
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この回答へのお礼

Thank you

考えていただき、ありがとうございました。

お礼日時:2021/08/26 14:39

代数的数どころか、任意の実数は有理数列の極限として表せます


例えば3,3.1,3.14…の極限がπになる、など
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この回答へのお礼

うーん・・・

3.14 って代数的整数なのですか?

お礼日時:2021/08/26 14:25

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