(2)はaとa+1は互いに素でないと仮定する、として背理法で証明してもいいのでしょうか？

(2)はaとa+1は互いに素でないと仮定する、として背理法で証明してもいいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• よろしくお願いします

  
    補足日時：2021/08/25 15:41

No.1 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2021/08/25 16:16

いいですよ。

自然数aとa+1は互いに素でないと仮定すると、共通の約数が存在するので
a=bm (b>1)
a+1=bn, (b,m,nは自然数）
ｂｍ+1=bn
b=1/(n-m)・・・b>1を満たす(n-m)は無い。
例、ｂ＝２の時(n-m)=1/2,自然数と自然数の差は１より大きい。
よって、矛盾が導かれたので、仮定は間違い。

と、背理法が使えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2021/08/25 19:05

No.2 回答者： funoe 回答日時： 2021/08/25 16:35

もちろんそれでいいし、むしろ「背理法で考え始めよう」という姿勢こそが妥当なものですし、

なにより、記載されているヒントもそれを求めているような気がする。


ａ、ａ＋１が互いに素でないと仮定すると
１でない公約数ｃが存在して、整数ｎ，ｍが存在して
a=cm
a+1=cn　　　とおける。
　（なお、ここでn>m　であり、n-mは自然数となることに注意。）

このとき、
(a+1)－a　＝　１であり、
cn-cm　　＝c(n-m）　なので
c(n-m)=1
ここでヒントより、
　ｃ＝１　かつ　(n-m)＝１　となるがこれは仮定「１でない公約数ｃが存在して」に反する。従って・・。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2021/08/25 19:05