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(2)はaとa+1は互いに素でないと仮定する、として背理法で証明してもいいのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • よろしくお願いします

    「(2)はaとa+1は互いに素でないと仮定」の補足画像1
      補足日時:2021/08/25 15:41
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A 回答 (2件)

いいですよ。


自然数aとa+1は互いに素でないと仮定すると、共通の約数が存在するので
a=bm (b>1)
a+1=bn, (b,m,nは自然数)
bm+1=bn
b=1/(n-m)・・・b>1を満たす(n-m)は無い。
例、b=2の時(n-m)=1/2,自然数と自然数の差は1より大きい。
よって、矛盾が導かれたので、仮定は間違い。

と、背理法が使えます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2021/08/25 19:05

もちろんそれでいいし、むしろ「背理法で考え始めよう」という姿勢こそが妥当なものですし、


なにより、記載されているヒントもそれを求めているような気がする。


a、a+1が互いに素でないと仮定すると
1でない公約数cが存在して、整数n,mが存在して
a=cm
a+1=cn   とおける。
 (なお、ここでn>m であり、n-mは自然数となることに注意。)

このとき、
(a+1)-a = 1であり、
cn-cm  =c(n-m) なので
c(n-m)=1
ここでヒントより、
 c=1 かつ (n-m)=1 となるがこれは仮定「1でない公約数cが存在して」に反する。従って・・。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2021/08/25 19:05

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