プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

タイトルの通りですが、sin(x^2)が周期関数ではない理由を、高校生にもわかるように教えて下さい!言葉でも数式でもOKです。

A 回答 (8件)

周期関数の定義は、任意のxに対してsin(x+a)²=sinx²となる様な、定まったaが存在する、と言う事です。


aは「周期」と言いますね。

では、早速
sin(x+a)²=sinx²なので、sin(x+a)²-sinx²=0です。

これを、和積の公式に当てはめて変形すると、
2sin((x+a)²-x²)/2)cos((x+a)²+x²)/2)=0

任意のxに対して、これを成立される様な定まったaは存在しません。
だから、周期関数では有りません。

----------------------------------------------------------
sin((x+a)²-x²)=0、又は、cos((x+a)²+x²)なのですが、

sin((x+a)²-x²)=0ならば、(x+a)²-x²=nπ(n×パイ)
a=±√(nπ+x²)-x
となり、xに依存するから、aは定まらない。

cos((x+a)²+x²)=0も同様にxに依存するから、aは定まらない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

数式でのご回答、ありがとうございます。大事なのは、aが一定になるところなんですね。わかりやすかったです。

お礼日時:2021/08/26 18:08

あれ? 午前中に回答したはずだけど


操作ミスで投稿されなかったかな?
それとも、回答が削除されたか...
最近、質問削除で同じ質問を再投稿とか
おかしなことが横行してるから、そのひとつか...

sin(x^2) が周期 T を持つとすると、
任意の x に対して sin( (x+T)^2 ) = sin( x^2 ).          ←[1]
両辺を x で微分すると、 2(x+T) cos( (x+T)^2 ) = 2x cos( x^2 ).  ←[2]
両辺で ([1] ・ 2x)^2 + [2]^2 を行うと、
4x^2 + 4(2Tx + T^2) cos( (x+T)^2 )^2 = 4x^2 より
4T(2x + T) cos( (x+T)^2 )^2 = 0 が任意の x に対して成り立つが、
(2x + T) cos( (x+T)^2 )^2 は定数関数ではないので
成り立つのは T = 0 の場合のみ。 T = 0 では周期ではない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。両辺を微分する証明も苦手なので、参考にしたいです。あと、同じ質問の再投稿はしていませんので、なんで消えたかはわかりません。

お礼日時:2021/08/26 18:16

あるT≠0が存在して


すべてのxに対して
f(x)=f(x+T)
となる時に
f(x)を周期Tの周期関数というのです
f(x)=sin(x^2)
とする
f(x)を周期Tの周期関数と仮定すると

f(x+T)-f(x)=0
=sin((x+T)^2)-sin(x^2)=0
=sin(x^2+2xT+T^2)-sin(x^2)=0
=sin(xT+T^2/2)cos(x^2+xT+T^2/2)=0

x=0の時
sin(T^2/2)cos(T^2/2)=0
だから

T^2=nπ>0
となる自然数nがある

sin(xT+nπ/2)cos(x^2+xT+nπ/2)=0

x=(π/4)/Tの時

x^2=π^2/(16T^2)=π/(16n)

sin(π/4+nπ/2)cos(π/(16n)+π/4+nπ/2)=0
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))=0

(2n+1)π/4=mπ
となる整数mがあると仮定すると
(2n+1)π=4mπ
2n+1=4m
左辺奇数右辺偶数となって矛盾するから
(2n+1)π/4=mπとなる整数mは存在しない
sin((2n+1)π/4)≠0

(1+4n+8n^2)π/(16n)=(4m±1)π/2
となる整数mがあるとすると
1+4n+8n^2=8n(4m±1)
左辺奇数右辺偶数となって矛盾するから

(1+4n+8n^2)π/(16n)=(4m±1)π/2
となる整数mは存在しない
cos((1+4n+8n^2)π/(16n))≠0

sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))≠0
だから
sin((2n+1)π/4)cos((1+4n+8n^2)π/(16n))=0
に矛盾するから

f(x)は周期関数ではない
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。ちゃんと数式でも証明できるのですね。整数問題っぽくなるのがおもしろいです。偶数とか奇数とかを使って証明していくのは苦手なので、こんなふうにできるようにもっと勉強します。

お礼日時:2021/08/26 18:14

>sin(x^2)の場合に、sin(x-nT)と書くことが「不可能」と


>言い切れる根拠はなんですか?

グラフを描いてみれば一目瞭然ですが、グラフを横に水平移動して
元のグラフにきれいに重ねることが不可能だからです。
右に行くほど振動周期が短くなるので・・・
「sin(x^2)が周期関数ではない理由」の回答画像5
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。sinの中が二次関数だから、どんどん周期が短くなっていくんですね!なんかわかったような気がします。

お礼日時:2021/08/26 18:05

周期関数なら


f(x)=f(x-nT)
n:整数。
T:周期

と書けないといけない。

f(x)=sinxなら
f(x)=f(x-n・2π)

でも

f(x)=sin(x^2)

では不可能。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

周期関数の定義を教えて下さって、ありがとうございます。確かにsinxだと、最初に習う通り、2πが周期になりますね。そこは納得できるのですが、sin(x^2)の場合に、sin(x-nT)と書くことが「不可能」と言い切れる根拠はなんですか?高校生の範囲で証明可能ですか?

お礼日時:2021/08/26 09:53

No.1です。



> 値の範囲が決まっているものは、すべて周期関数ですか?
いいえ。そうとは限りません。
所で、貴女が言う「周期関数」とは、どんな関数ですか?
それに合致するか否か、と言う事でしかありません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。周期関数の正確な定義を調べてみます。

お礼日時:2021/08/26 09:49

一応確認ですが「周期関数」の定義は書けますか?

    • good
    • 0
この回答へのお礼

「値が周期的に変わるもの」と習った気がするのですが、それだとsin(x^2)が周期関数ではないことと矛盾するので、「値が一定の周期で変わるもの」って感じでしょうか。

お礼日時:2021/08/25 18:23

sin関数の範囲は、0から±1の範囲です。


(x^2)が無限大近くになってもその範囲を逸脱することはありません。
なので、「周期関数ではない」と言うことは無いのです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

値の範囲が決まっているものは、すべて周期関数ですか?

お礼日時:2021/08/25 18:20

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング