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連立方程式

log₂(x-1)-log₂(y+1)=-1
-3・2^x+2^y+3=4

を解け。

この問題を解いてほしいです。
途中式などを教えていただきたいです。

ちなみに答えは、x=2,y=1です。

A 回答 (2件)

No.1 です。

「別な質問」は、削除されたみたいですね。

 log[2](x - 1) - log[2](y + 1) = -1   ①
 -3・2^x + 2^(y+3) = 4        ②

の連立方程式であれば、

①より
 log[2]{(x - 1)/(y + 1)} = -1
→ (x - 1)/(y + 1) = 2^(-1) = 1/2
→ 2x - 2 = y + 1
→ y = 2x - 3     ③

これを②に代入して
 -3・2^x + 2^(2x - 3 + 3) = 4
→ -3・2^x + 2^(2x) = 4
→ (2^x)^2 - 3・2^x - 4 = 0   ④

ここで
 2^x = t
とおけば、t>0 で、④は
 t^2 - 3t - 4 = 0
→ (t - 4)(t + 1) = 0
t>0 なので、これを満足するのは
 t = 4
従って
 2^x = 4
→ x=2

③より
 y = 1
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    • 0

あれ? 別な質問では、第2の式は



 -3・2^x + 2^(y+3) = 4

だったよ?

まあ、これでやったら、対数の式から
 log[2](x - 1) - log[2](y + 1) = -1
→ log[2]{(x - 1)/(y + 1)} = -1
→ (x - 1)/(y + 1) = 2^(-1) = 1/2
→ 2x - 2 = y + 1
→ y = 2x - 3           ①

これを第2の式に代入して
 -3*2^x + 2^(2x - 3) + 3 = 4
→ -3*2^x + 2^(2x)/2^3 - 1 = 0
→ (2^x)^2 - 24*2^x - 8 = 0   ②

ここで
 2^x = Y
とおけば、Y>0 であり、②は
 Y^2 - 24Y - 8 = 0
一般解の公式より
 Y = 12 ± √[12^2 + 8] = 12 ± √152 = 12 ± 2√38
Y>0 なので
 Y = 12 + 2√38
よって
 2^x = 12 + 2√38
→ x = log[2](12 + 2√38)

①より
 y = 2log[2](12 + 2√38) - 3

やっぱり、質問文の式の書き方を間違えているんだろうなあ。
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